??cos2x?2ex?yf13??cosx?e2(x?y)f33??, =ex?yf3??f1?sinx?f11
?z?x?y2??(?siny)?f13??ex?y)?ex?y(f32??(?siny)?f33??ex?y)?f3?ex?y =cosx(f12??cosxsiny?f13??ex?ycosx?ex?yf32??siny?e2(x?y)f33??. =ex?yf3??f127.设z?f(xy,?z?x?y2xy)?g(),其中f具有二阶连续偏导数,g具有二阶连续导数,求yx.
解 g()为由一个中间变量构成的二元复合函数,对中间变量所求的应是导数,而不
xy是偏导数.
?z?x2=yf1??1yf2??yx2g?,
?z?x?y???=f1??y(xf11xy2??)?f121y2f2??1y???(xf21xy2??)?f221x2g??yx2g??1x
=f1??1y2???f2??xyf111x2g??yx3g???xy3??. f228.设u?f(?u?u?uxy,,. ,),其中f具有一阶连续偏导数,求
?x?y?zyz 解
?u?x=f1??1y,
?u?y?u?z=f1??(?xy)?f2??2yz21z=?xy2f1??1zf2?.
=f2??(?yz2)=?x2f2?.
9.如果F(x,y)?y?ey?tdt,求Fxy,Fyy.
解 Fx=yex?x2,Fxy=e2?x2.
2 Fy=?e?tdt?y?e?y,Fyy=?ey?y2?e?y2?ye?y2?(?2y)=2(y?1)e2?y2
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第五节 隐函数的微分法
1.设
xz=lnzy,求
?z?x及
?z?y.
解 方程两端同时关于x求偏导数,
1z?x?zz?x2=
y1?z, ??zy?x解得
?z?x=
zx?z.方程两端同时关于y求偏导数得
xz2 ?2??z?y=
yz(?zy2?1?zy?y),
解得
?z?y=
zy(x?z).
2.设ez?xyz=0.（1）用隐函数求导公式求
?z?x?z?x;（2）用复合函数求偏导数的方法求
?z?x
（3）利用全微分形式不变性求出及
?z?y.
解 （1）令F(x,y,z)=ez?xyz.
z Fx??yz,Fz?e?xy,
故
?z?x=?FxFz=
yze?xyz.
z（2） 方程e?xyz=0两端同时关于x求偏导数,此时,将z看做x,y的函数：z=z(x,y),于是
e??z?xz?z?x?yz?xy??z?x=0,
解得 =
yze?xyz.
（3）先将x,y,z均看作自变量,方程e?xyz=0两端同时取全微分得
d(e?xyz)?0,即de?d(xyz)?0,
xzz12
ezdz?yzdx?xzdy?xydz?0.
这时,再将z看作x,y的函数,解出z的全微分dz： dz=
yze?xyyze?xyzzdx?xze?xyzdy,
于是
?z?x=,
?z?y=
xze?xyz.
3.设?(u,v)具有连续偏导数,证明由方程?(cx?az,cy?b)z=0所确定的函数
z?f(x,y)满足a?z?x?b?z?y?c.
证 ?x=?u?c=c?u,?y?c?v,
?z??u?(?a)??v?(?b)??a?u?b?v, 于是
?z?x=??x?z=
c?ua?u?b?v,
?z?y=??y?z=
c?va?u?b?v,
从而
a?z?x?b?z?y?ac?u?bc?va?u?b?v?c.
?x?y?z?0,dxdy4.设?2 求,. 22x?y?z?1,dzdz? 解 对每一个方程的两端分别对z求导,注意变量x与y均为z的函数,移项后得
?????x??1x1ydxdzdxdz?dydz??1,?ydydz ??z,用克莱姆法则解得 D==y?x?0
?11y??y?zy?x?z?yy?x
dxdz??zy?x
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1?1?z??z?xy?x?x?zy?x
dydz?xy?x
?x?eu?usinv,?u?v5.设?,求, u?x?x?y?e?ucosv, 解 这里变量x与y是自变量,而变量u与v均为x与y的函数,对每一个方程的两端 分别对x求偏导数,移项得：
?u?v?u(e?sinv)?ucosv?1,???x?x ??(eu?cosv)?u?usinv?v?0,??x?x?D=
e?sinve?cosv1uuucosvusinvucosvusinv=u[eu(sinv?cosv)?1],
?u?x?0uu[e(sinv?cosv)?1]?sinve(sinv?cosv)?1u,
e?sinv?v?x?e?cosvuuu10?cosv?euuu[e(sinv?cosv)?1]u[e(sinv?cosv)?1].
6.设F(,zxyz)?0,求dz.
解 用全微分形式不变性求dz,方程两端同时取全微分,得 F1??d()?F2??d()?0,
zz1zxz2xy F1??(dx?从而解出dz,即得 dz=zdz)?F2?(1zdy?yz2dz)?0,
F1?dx?F2?dyxF1??yF2?.
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第六节 多元函数微分学的应用
1.求螺旋线x?acos?,y?asin?,z?b?在点(a,0,0)处的切线及法平面方程. 解
dxd???asin?,
dyd??acos?,
dzd??b,与点(a,0,0)对应的参数?=0,故曲线上
(a,0,0)点的切向量为
T={0,a,b}. 于是,切线方程为
x?a0?ya?zb,即??x?a,?by?az?0.
法平面方程为 ay?bz?0.
2.求曲线y2?2mx,z2?m?x在点(1,?2,1)处的切线及法平面方程.
解 因为(1,?2,1)是曲线上的点,将x?1,y??2代入方程y2?2mx可得m?2,所给曲线为y2?4x,z2?2?x.求点(1,?2,1)处的切向量有两种方法：
法1 每一个方程两端均关于x求导数,得 dy?2y?4,??dx ?
?2zdz??1.?dx?在点(1,?2,1)处,
dydx=-1,
dzdx=?12,故切向量为
1 T={1,?1,?},
2 法2 曲面y?4x,即4x?y?0上点(1,?2,1)处的法向量为 n1?{4,?2y,0}?{4,4,0},
22(1,?2,1)2 同理,曲面z?2?x上点(1,?2,1)处的法向量为n2?(1,0,2).于是曲线上点
(1,?2,1)处的切向量
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