所以 x2?z?x+y2?z?y=x2?zx2+y2?2zy2=2z.
4.求下列函数的二阶偏导数
?z?x22,
?z?y22,
?z?x?y.
（1） z=x4?y3?4x2y; （2）z=arctan?z?xyx.
2解（1） =4x?8xy,
3?z?x222=12x?8y,
2?z?x?y=?8x,
?z?y=3y?4x,
22?z?y2=6y.
（2）
?z?x=
11?()yx2?(?yx)=?2yx?y22,
?z?x22=
y?2x(x?y)2222=
2xy(x?y)222,
?z?x?y?z?y2=?x?y?y?2y(x?y)11x2222=
y?x2222(x?y)2,
=
1?()xy?2=
xx?y22,
?z?y22=
?x?2y(x?y)222??2xy(x?y)222.
第三节 多元函数的全微分
1.填空 （1）设z=yx?ys?ts?t22,则dz=
?xydx?xdy(x?y)223/22,dz(1,0)=dy.
（2）设u=,则du=
?2tds?2sdt(s?t)2.
（3）设u?(xy),则du=yz(xy)zz?1dx?xz(xy)z?1dy?(xy)ln(xy)dz.
z6
?y?2x（1）
?z2x2?y2解 ?xy?x==(x2?y2)2(x2?y2)3/2,
x2?y2?y?2y222
?z=2x?y=x.
?y(x2?y2)2(x2?y2)3/22故 dz=
?xydx?xdy(x2?y2)3/2, dz(1,0)=dy.
（2）
?u(s?t)?(s?t)?s=
=
?2t(s?t)2(s?t)2,
?u(s?t)?(?1)?t=
(s?t)?(s?t)2=
2s,
(s?t)2故 du=?2tds?2sdt.
(s?t)2 （3）
?u?x=z(xy)z?1?y=yz(xy)z?1,
?u=?yz(xy)z?1?x=xz(xy)z?1,
?uz?z=(xy)ln(xy),
故 du=yz(xy)z?1dx?xz(xy)z?1dy?(xy)zln(xy)dz.
2.求函数z?yx当x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2时的全增量和全微分.
解 全增量?z=y??y?yx??xx=
x?y?y?xx(x??x),
全微分 dz=
??x(yx)?x+??y(yx)?y=?y1x2?x?x?y, 当x?2,y?1,?x?0.1,?y??0.2时, ?z??0.4?0.152?2.1=?42??0.119.
7
dz=?14?0.1?12?(?0.2)=?0.125.
3.求u(x,y,z)=xyyz的全微分. 解
?u?x=yxy?1yz,
?u?y=yzxylnx?zxyyz?1，
?u?z=xyyzlny,
故 du=yxy?1yzdx+(yzxylnx?zxyyz?1)dy+xyyzlnydz
=xyyz[yxdx?(zy?lnx)dy?lnydz].
1?22(x?y)sin,x2?y2?0?224.设f(x,y)=?,问在(0,0)点处： x?y22x?y?0?0,? （1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由.
(?x)sin?lim?x?021(?x)2 解 （1）
fx(0,0)?limf(?x,0)?f(0,0)?x?0?x?0?x=0
fy(0,0)?limf(0,?y)?f(0,0)?y(?y)sin?lim?y?021(?y)2?0?y?0?y=0
故f(x,y)在(0,0)处偏导数存在.
12x1?2xsin?cos,x2?y2?0?222222x?yx?yx?y （2） ??22?x?x?y?00,??f12y1??cos,x2?y2?0?2ysin222222x?yx?yx?y ??22?y?x?y?00,??f因为
(x,y)?(0,0)lim?f?x与
(x,y)?(0,0)lim?f?y2不存在,故偏导数在(0,0)处不连续.
（3） ?z?[(?x)?(?y)]sin21(?x)?(?y)22,fx(0,0)=fy(0,0)=0,
8
从而 lim?z?[fx(0,0)?x?fy(0,0)?y]ρρsin21ρ2ρ?0=limρ?0ρ=0,
其中ρ?22(?x)?(?y),所以f(x,y)在(0,0)处可微,且dz?0.
此题说明二元函数的偏导数在一点不连续时,函数在该点仍可能可微,偏导数连续是可微的充分条件,而非充分必要条件.
第四节 多元复合函数的求导法则
1.z?f(xy,yx),求
?zz?x,
?.
?y 解
?z1?x=yxy?f1??yxlnyfz=xylnxf??xyx?12?,
??y1f2?.
2.设z?u2?v2,而u?2x?y,v?3x?2y,求
?z?z?x,
.
?y 解
?z?x=
?z?u??u?x+?z?v??v?x=2u?2?2v?3=4u?6v=26x?8y,
?z=
?z?u+?z?u??y?v??v=?y?y2u?1?2v?(?2)=2u?4v=10y?8x. 3.设z?y,其中f(x2?y2)f(u)为可导函数,验证：
1?z1?zx?x?y?y?zy2.
证
?z?yf?(x2?y2)?2x2xyf??x=
f2(x2?y2)=?f2,
?zf(x2?y2)?yf?(x2?y2)?(?2y)?y=
f2(x2?y2)=
f?2y2f?f2,
故
1?zx?x?1?zy?y=?2yf?f?2y2f??2y2f??f?2y2f?f2?yf2=
yf2=
1yf
=
1y2?yf=
zy2.
9
注意 求偏导数
?z?x及
?z?y?z?x时,常常会丢掉因子f?(x2?y2),而得到错误结果：
=?2xyf2,
?z?y=
f?2yf22.
4.设u?xy,而x??(t),y??(t)都是可微函数,求
dudtdudt.
解 =
?udx?udy=yxy?1???(t)?xylnx???(t) ????xdt?ydt?(t)=?(t)?(t)?(t)?1??(t)+?(t)?ln?(t)??(t)
=??(t)?(t)?(t)?(t)?1+??(t)?(t)?(t)ln?(t).
注意 常见错误是遗漏了复合步骤,因而丢失了
dudtdxdt=??(t)与
dydt=??(t),得到
=?(t)?(t)?(t)?1??(t)?(t)ln?(t).
yx5.设z?xy?xF(u),而u?,F(u)为可导函数,证明 x?z?x?y?z?y?z?xy.
证
?z?x=y?F(u)?xF?(u)?(?1xyx)=y?F(u)?2yxF?(u).
?z?y=x?xF?(u)?=x?F?(u).
于是
x?z?x?y?z?y=xy?xF(u)?yF?(u)?xy?yF?(u)
=xy?xF(u)?xy=z?xy.
x?y6.设z?f(sinx,cosy,e),其中f具有二阶连续偏导数,求
?z?x22,
?z?x?y2.
解
?z?x2x?y=f1?cosx?f3?e,
?z?x2??cosx?f13??ex?y)cosx?f1?sinx?(f31??cosx?f33??ex?y)ex?y?f3?ex?y =(f1110