?u?x?1?lnx,
?u?y?1?lny,
?u?z?1?lnz
du??u?xdx??u?ydy??u?zdz=(1?lnx)dx?(1?lny)dy?(1?lnz)dz,
从而 du(1,1,1)=dx?dy?dz.
?z?x?y23.设z?u(x,y)eax?y,又?0,求常数a,使
?z?x?y2??z?x??z?y?z?0.
解
?z?x=
?u?xeax?y?u?eax?y?a=eax?y(?u?x?au)
?z?y=
?u?yeax?y?u?eax?y=eax?y(?u?y2?u),
?z?x?y2=eax?y(?u?x?au)+eax?y(?u?x?y?a?u?y)
由
?u?x?y2=0,得
?z?x?y2=eax?y(?u?x2?au?a?u?y)
将
?z?x?y2,
?z?x,
?z?y,z的表达式代入式
?z?x?y??z?x??z?y?z?0可得
eax?y[?u?x?au?a?u?y??u?x?au??u?y?u?u]=0
由eax?y?0,可得
(a?1)故当a?1时,等式成立.
?x2y,?224.设f(x,y)??x?y?0,?2?u?y=0
x?y?0,x?y?0,222 求fx(x,y)及fy(x,y),
解 当x?y?0时
2226
fx(x,y)=
2xy(x?y)?xy?2x(x?y)222222222=
2xy2322(x?y)4222,
fy(x,y)=当x2?y2?0时,
x(x?y)?xy?2y(x?y)2222=
x?xy22(x?y).
fx(0,0)=limf(x,0)?f(0,0)x=0,
x?0 fy(0,0)=limf(0,y)?f(0,0)y=0.
x?0?2xy3,?222故 fx(x,y)??(x?y)?0,??x4?x2y2,? fy(x,y)??(x2?y2)2?0,?x?y?0,x?y?0,2222
x?y?0,x?y?0,2222
注意 常见的错误是没用偏导数的定义求函数f(x,y)在分段点(0,0)的偏导数. 5.设f(x,y)=（1）f(x,y)在点(0,0)是否连续,为什么？（2）f(x,y)在 xy,问：
点(0,0)的偏导数fx(0,0),fy(0,0)是否存在？（3）f(x,y)在点(0,0)是否可微,为什么？
x?y21222解 （1）0?xy??122?22x?y, 而 lim12x?0y?0x?y=0,故lim22x?0y?0x?y=lim2x?0y?0xy=0=f(0,0)
函数在点(0,0)连续. （2）考虑极限
f(x,y)?f(0,0)?[fx(0,0)x?fy(0,0)y]x?y22 lim=limxyx?y22,（8.24）
x?0y?0x?0y?0由于沿直线y?x,
27
limxyx?y22x?0y?x?0?12?0
故前式极限不等于0,从而函数在(0,0)点不可微. 注意 常见错误之一是：
因为,故limf(x,y)=limx?0y?kx?0x?0kx2=0,故limf(x,y)=0.
x?0y?0 关于这种错误,前边已讲过,记号“lim”表示点(x,y)以任意的方式趋于(0,0).而记号
x?0y?0“lim”表示点(x,y)以一种特殊的方式：沿直线y?kx趋于(0,0).显然若limf(x,y)存
x?0y?kx?0x?0y?0在为a,则limx?0y?kx?0f(x,y)存在也为a;但反之未必成立.
常见错误之二是有人将讨论函数在点(0,0)是否可微的式子写成
limf(x,y)?f(0,0)?dz(0,0)x?y22
x?0y?0式中出现了dz(0,0)是不对的,因为我们正在讨论函数在(0,0)点是否可微,即dz(0,0) 是否存在.
6.设u??(e,xy)?xf(),其中?有二阶偏导数,f二阶可导,求
x?u?xyyyx2xy?u?x22
解
??ex+???y+f()+xf?()?(?=?12xx)
x?+y?? =e?1+f-2yxf?.
?u?x22xx?+ex[?11???ex??12??.y]+y[????e????.y]+f?(?=e?12122yx)+2yx2f?-
yxf???(?yx2)
??e?11???ye(?12??????)?y???? =e?12122x2xx2yx23f??.
xx????????. )2ye?12 注意 易发生的错误是将结果中ye(?1221合并为
由于题目中仅告知?有二阶偏导数,并未告知?的二阶偏导数连续,故未必有
????????. ?12???????2?1221,因此不能将1221合并为
28
7.设z?()y,求
?xx 解 lnz??zyx?z(1,2).
xylnyx?xy(lny?lnx)
1yx11y1 ?x?ln?(?)?ln?,
zyxyxyxy
?z?x?zylnyx?zy,
1当x?1,y?2时,z?(2)2??z?x2, 从而
222222(1,2)=ln2??(ln2?1).
228.设z?xf(xy,3yx),f具有二阶连续偏导数,求
?z?y,
?z?y2,
?z?x?y.
解 z为x3与f的乘积,而f为由两个中间变量构成的二元复合函数,
?z?y2342=x(f1?x?f2?)=xf1??xf2?
1x
?z?y2??x?f12??=x(f1141x2??x?f22??)+x(f211x5???2x3f12???xf22?? )=xf11
?z?x?y2=
?z?y?x32=
??x442(xf1??xf2?)
??? =4xf1??x(yf11yx2??)?2xf2??x2(yf21???f12yx2??) f2234???yf22?? =4xf1??2xf2??xyf11 应注意充分利用条件
?z?x?y2=
?z?y?x2,在求出
?z?y的基础上进而求
?z?y?x2,即得
?z?x?y2,不必
先求
?z?x,再求
?z?x?y2,这就增加了工作量.
9.设z?f(xz,z?y),其中f具有一阶连续偏导数,利用全微分形式不变性求隐函数
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z?z(x,y)的全微分dz,并由此求出
?z?x,
?z?y.
解 方程z?f(xz,z?y)两端同时求全微分得 dz?f1?d(xz)?f2?d(z?y), 即 dz?f1?(zdx?xdz)?f2?(dz?dy). 从中解出dz,得
dz?zf1?dx?f2?dy1?xf1??f2?zf1?1?xf1??f2?,
由此得
?z?x=,
?z?y=
?f2?1?xf1??f2?.
?x2?z?0?9x?7y?21z?010.求曲线?上点M0(1,?2,1)处的法平面与直线?
x?y?z?0??3x?2y?1?0间的夹角.
解 只须求出曲线上M0点的切向量,即可求出法平面与已知直线的夹角. 由一般式给出的曲线求切向量有两种方法.
?x2?z?0法1 将x看做参数,由方程组?求出y?,z?,则切向量T={1,y?,z?},
?3x?2y?1?0?2x?z??0 ??3?2y?0??2?z??03在点M0(1,?2,1)处,?解得,y???,z??2.
2?3?2y??0故切向量T={1,?32,2}=
12{2,?3,4}.
法2 求出构成曲线的两个曲面x?z?0和3x?2y?1?0在点M0的法向量n1及
n2,曲线在点M0的切向量T=n1?n2.
2 n1M0={2x,0,?1}M0={2,0,?1}, n2M0={3,2,0}.
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