第二篇 热学
第5章气体分子动理论
5-6 在容积为2.0?10?3m3的容器中，有内能为6.75?102 J的刚性双原子分子理想气体。求:（1）气体的压强；（2）若容器中分子总数为5.4?1022个，则分子的平均平动动能及气体的温度为多少？
分析：（1）由一定量理想气体的内能公式和理想气体物态方程可求出气体的压强，刚性双原子分子的自由度i?5。（2）由分子数密度定义和p?nkT求出T，最后由气体分子的平均平动动能公式求出分子的平均平动动能。
解：（1）由E?2EiVMi?2RT和pV?2M?5RT得气体压强：
p??2?6.75?105?2.0?10NV?3?1.35?10(Pa)
（2）分子数密度n?T?pnk，则该气体的温度： pVNk?1.35?10?2.0?105.4?10225?3?23??1.38?10?3.62?10(K)
2气体分子的平均平动动能为：
?k?3kT2?3?1.38?10?23?3.62?1022?7.49?10?21(J)
5-7 自行车轮直径为71.12cm，内胎截面直径为3cm。在?30C的空气里向空胎里打气。打气筒长30cm，截面半径为1.5cm。打了20下，气打足了，问此时胎内压强是多少？设车胎内最后气体温度为70C。
分析：可根据理想气体物态方程求解此题。
解： 设向自行车内胎所打的空气的摩尔数为?由理想气体物态方程pV??RT得 ：
??p1V1RT1
?2?223其中，p1?1atm,V1?20?30?10???(1.5?10)m,T1??3?273?270K
气打足后，胎内空气的体积 V2???71.12?10T2?(7?273)K?280K，压强为 p2， p2??2???(32?10?2)m23温度
?RT2V2
p1V1?p2?RT1?RT2?p1V1T2V2T1V2?5?1.013?10?20?30?105?2???(1.5?10)?2803?22?22
??71.12?10?2???(?10)?2702?2.84?10(pa)?2.8(atm)
5-8 某柴油机的气缸充满空气，压缩前其中空气的温度为47C，压强为8.61?10Pa。
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04第二篇 热学
当活塞急剧上升时，可把空气压缩到原体积的空气的温度（分别以K和0C表示）
分析：此题由理想气体过程方程求解。
117，其时压强增大到4.25?106Pa，求这时
解：设压缩前空气的体积为 V1?V，温度为T1?(47?273K)?压缩后空气的体积为 V2?p1?8.61?10Pa，对于一定质量的理想气体，由过程方程
p1V1T14432K0压,强为
117压强为p2?4.25?10Pa，温度为T2。V，得：
66?p2V2T28.61?10?V3204.25?10??T2117V
?T2?929(K)
t2?T2?273?(929?273)?656(C)
05-9 温度为270C时，1mol氦气、氢气和氧气各有多少内能？1g的这些气体各有多少内能？
分析：由理想气体内能公式求解此题。刚性双原子分子氢气的自由度i?5，刚性单原子分子氦气的自由度i?3。
解：由理想气体内能E??1mol氦气的内能 EH?1?ei2325252?RT?Mi?2RT，得
3?8.31?(27?273)?3.74?10(J) ?8.31?(27?273)?6.23?10(J) ?8.31?(27?273)?6.23?10(J) 3252?8.31?(27?273)?9.35?10(J) ?8.31?(27?273)?3.12?10(J) ?8.31?(27?273)?1.95?10(J)
?1222331mol氢气的内能 EH?1?21mol氧气的内能 EO?1?21g氦气的内能 E1g氢气的内能 E1g氧气的内能 E'He?14121'H2??'O2?32?525-10 已知某理想气体分子的方均根速率为400m?s。当其压强为1atm时，气体的密度为多大？
分析：由n?NV,m??VN得p?13nm?2?1N?V212??????，而方均根速率3VN3?2?400m?s?1
解：气体的密度为：
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5??3p?2?3?1.013?104002?1.9(kg.m?3)
5-11 容器中贮有氧气，其压强P=1atm，温度t?270C。试求： (1)单位体积内的分子数； (2)氧分子质量m； (3)氧气密度?； (4)分子的方均根速率； (5)分子的平均平动动能。
分析：（1）由p?nkT可求得单位体积内的分子数，压强p和热力学温度T换成国际单位制。（2）氧分子的质量由m?13摩尔质量阿伏伽德罗常数2??N0可解得。（3）由5－10题推出的
p?RTp???和分子的方均根速率??23RT?可解得氧气密度??。（4）由
（5）由分子的平均平动动能公式求解。 分子的方均根速率公式求解。
解：（1）单位体积内的分子数为：
n?pkT?1?1.013?101.38?10?235?(27?273)?2.45?10(m25?3)
（2）氧分子的质量为：
m??N0?326.02?1023?5.31?10?23(g)?5.31?10?26(kg)
（3）氧气密度为：
???p?RT?1?1.013?10?32?108.31?(27?273)5?3?1.30(kg?m?3)
（4）分子的方均根速率为：
??23RT??3?8.31?(27?273)32?10?3?4.83?10(m?s)
32?23?212?1（5）分子的平均平动动能?k?32kT?8?1.38?10?(27?273)?6.21?10(J)
5-12 某些恒星的温度可达到约1.0?10K，这也是发生聚变反应（也称热核反应）所需的温度。在此温度下，恒星可视为由质子组成的。问：（1）质子的平均动能是多少？（2）质子的方均根速率为多大？
分析：（1）将组成恒星的大量质子视为理想气体，质子可作为质点，其自由度 i =3，因此，质子的平均动能就等于平均平动动能。（2）由方均根速率公式求解。
解： （1）质子的平均动能为
?k?32kT?(32?1.38?10?23?1.0?10)?2.07?108?15(J)
（2）质子的方均根速率为
?2?3RT??3?8.31?1.0?101?10?386?1?1.58?10(m.s)
5-13 摩尔质量为89g/mol的氨基酸分子和摩尔质量为5.0?10g/mol的蛋白质分子在
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037C的活细胞内的方均根速率各是多少？
分析：由方均根速率公式求解。 解：氨基酸分子的方均根速率为：
?2?1.73RT??1.738.31?(37?273)89?10?3?2.9?10(m?s)
2?1蛋白质分子的方均根速率为：
?2?1.73RT??1.738.31?(37?273)5.0?10?104?3?12(m?s)
?15-14 求温度为1270C时的氢气分子和氧气分子的平均速率、方均根速率及最概然速率。 分析：由平均速率、方均根速率、最概然速率的公式求解。氢气的摩尔质量
?3?1?H?2?10kg?mol2，氧气的摩尔质量为?o2?3.2?10?2kg?mol?1,气体温度
T?400K
解：氢气分子平均速率为： ?H?28RT??H?8?8.31?4003.14?2?10?3?2.06?10(m?s)
3?12氢气分子方均根速率为：
?H?223RT?H2?3?8.31?4002?10?3?2.23?10(m?s)
3?1氢气分子最概然速率为： ?p(H2)?2RT?H?2?8.31?4002?10?3?1.82?10(m?s)
3?12氧气分子平均速率为：
?o?28RT??o2?8?8.31?4003.14?3.2?10?2?5.16?10(m?s)
2?1氧气分子方均根速率为：
?5.58?10(m?s)2?1?
2O2?3RT?o2?3?8.31?4003.2?10?2氧气分子最概然速率为：
?p(02)?2RT?o2?2?8.31?4003.2?10?2?4.55?10(m?s)
2?15-15 有N个质量均为m的同种气体分子，它们的速率分布如图5-15所示。 （1）说明曲线与横坐标所包围面积的含义； （2）由N和?0 求a值；
（3）求在速率?0/2到3?0/2间隔内的分子数；
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第二篇 热学
（4）求分子的平均平动动能。
分析：（1）由dN?Nf(?)d?在0到2?0的范围内取积分得，分子所允许的速率在0到2?0的范围内，曲线与横坐标所包围的面积的含义；（2）由速率分布函数的归一化条件
??0f(?)d??1可
求解；（3）由dN?Nf(?)d?取积分可求解；（4）由分子速率平方的平均值定义和分子的平均平动动能可求解。
图5-15 习题5-10图解 解： （1）分子所允许的速率在0到2?0的范围内，曲线与横坐标所包围的面积
S??2?00Nf(?)d??N （1）
即曲线与横坐标所包围的面积的含义是表示系统分子总数N 。
?a?? (0????0) （2）从图中可知， Nf(?)=??0
?a (????2?)00?由（1）式得
?2?00Nf(?)d????00a??0d????2?00ad??N
?a?2N/3?0
（3）速率在?0/2到3?0/2间隔内的分子数为
?N???3?0202Nf(?)d??2???0?00a?/2?0d?????03?0/20ad??7N12
（4）分子速率平方的平均值 ??故分子的平均平动动能为
??dN/N?2??f(?)d?
22?0a??0a3?3122?d????d???m?0 ?k?m??m??0?022?N?0N?361215-16 设有N个粒子，其速率分布函数为
?a??? 0????0 ?0?af(?)=?2a-? ?0???2?0?0??0 ??2?0??
(1)作出速率分布曲线； （2）由N和?0，求a； （3）求最概然速率?p；
（4）求N个粒子的平均速率；
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