第二篇 热学
（5）求速率介于0— ?0/2之间的粒子数； （6）求?0/2— ?0区间内分子的平均速率。
分析：（1）水平方向的轴表示速率，纵轴表示速率分布函数，用描点法可作出速率分布曲线；（2）可根据归一化条件求解；（3）根据最概然速率?p的定义求解；（4）由平均速率的定义求解；（5）由dN?Nf(?)d?取积分可求解；（6）先由dN?Nf(?)d?取积分求?o/2—?o区间内分子总数，然后由分子的平均速率的定义求解。
解：（1）速率分布曲线如图（1）所示： (2)根据归一化条件
??0得： f(?)d??1a??00a?o?d??1??2?00(2a??o?)d????2?0d??1
0即 ： a??o
（3）根据最概然速率的定义，由速率分布曲线得 ?p??o
图（1）
（4）N个粒子的平均速率为：
????0?dNN???0
?f(?)d?
a???00a?o?d??2??2?00?(2a??o?)d?
?134222??o?a(?o??o) ?o3332a?a?o?1?o??o??o
2（5）在速率 0??o/2之间的粒子数
?0?0?N??20f(?)Nd???20a?o?Nd??aN1?o21111()?aN?o???N??o?N ?o2288?o8?o区间内分子总数为： （6）?o/2—N?'??0?02f(?)Nd????o?o2a?o?Nd??aN?o?1?2132???(?)?o0?8N 2?2????o/2??o区间内分子的平均速率为：
?????oo?dNN'2????oo??f(?)Nd?38?N44
28??3?oo??a2?o?d?
第二篇 热学
? ?83?o792?a?1?318a733? ??(?)????oo?33?8o3?2??o79?oa??o?21?o?79?o?0.778?o
5-17 设氮气分子的有效直径为10-10m，（1）求氮气分子在标准状态下的碰撞频率；（2）若温度不变，气压降到1.33?10?4Pa，求碰撞频率。
分析：标准状态下，p?1.013?105pa,T?273K，（1）和（2）可由平均自由程公式、平均速率公式、碰撞频率的定义求解，并且在温度不变时，同种气体分子的平均速率相同。
解：（1）氮气分子在标准状态下的平均自由程为：
??KT2?dp2?23?1.38?102?3.14?(10?27325?10)?1.013?10?8.4?10?7(m)
氮气分子的平均速率 ??8RT???8?8.31?2733.14?28?10?3?4.54?10(m?s)
22?1氮气分子在标准状态下的碰撞频率 z????4.54?108.4?10?7?5.43?10(s)
8?12?1?4（2）当温度 T?273K，压强 p?1.33?10pa时，??4.54?10m?s
氮分子的平均自由程：
??KT2?dp2?1.38?102?3.14?(10?23?2732?4?10)?1.33?102?6.37?10(m)
2所以氮气分子的碰撞频率为： z????4.5?46.3?7?1110?1?0.71s( )2105-18 目前实验室获得的极限真空约为1.33?100Pa，这与距地球表面1.0?10km处
4的压强大致相等。试求在27C时单位体积中的分子数及分子的平均自由程。（设气体分子的有效直径3.0?10cm）
分析：由理想气体压强公式p?nkT和平均自由程公式求解此题。 解：分子数密度为： n?pkT?1.33?101.38?10?23?11?8?(273?27)?3.21?10(m9?3)
分子的平均自由程为：
??kT2?dp2?1.38?10?23?(273?27)?102?3.14?(3.0?10)?1.33?102?11?7.8?10(m)
8可见分子间几乎不发生碰撞。
5-19 一架飞机在地面时机舱中的压力计指示为1.01?10Pa，到高空后压强为
8.11?10Pa。设大气的温度均为27C。问此时飞机距地面的高度为多少？（设空气的摩
405尔质量为2.89?10kg?mol?2?1）
45
第二篇 热学
分析：当温度不变时，大气压强随高度的变化主要由分子数密度的改变而确定，且气体分子在重力场中的分布满足玻耳兹曼能量分布。利用地球表面附近气压公式可求此题。
解：由地球表面附近气压公式p?p0e(?mgh/kT) 即可得飞机距地面的高度为： h?kTmgln(p0/p)?RT?gln(p0/p)
543?8.31?(273?27)2.89?10?2?9.8?ln(1.01?10/8.11?10)?1.93?10(m)
5-20 一圆柱形杜瓦瓶的内外半径分别为R1=9cm和R2=10cm，瓶中贮有00C的冰，瓶外周围空气的温度为200C，求杜瓦瓶两壁间的空气压强降到何值以下时，才能起保温作用？（设空气分子的有效直径为3?10-10m，壁间空气温度等于冰和周围空气温度的平均值。）
分析：先求得杜瓦瓶两壁间的空气温度，再由平均自由程公式和p?nkT求得压强。由于当杜瓦瓶没有分子碰撞时，它才能起到保温作用。而杜瓦瓶两壁间分子的平均自由程越大，它起到的保温效果就越好。
解 ：杜瓦瓶两壁间的空气温度为 T? ???12n?d2
20?273?0?2732?283(K)
?kT2?pd2
?p?即p?1kT2?d?2?，压强越低，分子间平均自由程越大。
kT2?d?2当??(10?9)?10?2m时，p?
故杜瓦瓶两壁间空气的最大压强为：
pmax?kT2?d?2?1.38?1023?283)?1.0?10?22?3.14?(3?10?10pa?0.997(pa)
所以，当杜瓦瓶两壁间的空气压强降到0.997pa以下时，才能起保温作用。
5-21 真空管的线度为10m，其中真空度为1.33?10Pa，设空气分子的有效直径为3?10-10
?2?3m ，求27C时单位体积内的空气分子数、平均自由程和平均碰撞频率。
0分析：由理想气体压强公式p?nkT求单位体积内的空气分子数，由平均自由程的定义求平均自由程，再由平均速率的公式和平均碰撞频率的定义求解平均碰撞频率。
解： 单位体积内空气分子数为： n?pkT?1.33?101.38?10?23?3?(27?273)kT?3.21?10(m17?3)
?23空气分子的平均自由程：??
2p?d2?1.38?10?(27?273)?32?1.33?10?(3?10?10)2?7.79(m)
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第二篇 热学
?2???7.79m?真空管的线度10m，故真空管中分子间很难发生碰撞。
空气分子的平均速率??1.60RT????1.608.31?(27?273)29?102?3?4.69?10(m?s)
2?1?空气分子的平均碰撞频率 z??4.69?107.79?60.2(s)
?1
综合练习题
一、填空题
1、根据能量按自由度均分原理，设气体分子为刚性分子，分子自由度为i，则当温度为T时，（1）?摩尔分子的平均能量为 ，（2）1摩尔理想气体的内能为 。（3）一个双原子分子的平均转动动能为 。
2、对于单原子分子理想气体，下面各式分别代表的物理意义为： ①RT： ；
23②R： ；
223③R： 。
3、自由度数为i的一定量的刚性分子理想气体,其体积为V,压强为p时,其内能为E=_______ 。
4、òu2u15Nf(u)du表示的物理意义是 。
5、如图5-16所示，两条曲线分别表示相同温度下，氢气和氧气分子的速率分布曲线，则a表示 气分子的速率分布曲线；b表示 气分子的速率分布曲线。
6、A、B、C三个容器中皆装有理想气体，它们的分子数密度之比为nA:nB:nC?4:2:1，而分子的平均平动动能之
:?比为?A:?B?C1:2，:则它们的压强之比
PA:PB:PC? 。
7、一容器内贮有气体,其压强为1atm,温度为27oC,密度为
1.3kg?m?3图5-16 ,则气体的摩尔质量为______kg?mol?1，由此确定它是______气。
8、图5-17中的曲线分别表示氢气和氦气在同一温度下的麦克斯韦分子速率的分布情况.由图可知,氢气分子的最概然速率为______m?s.氦气分子的最概然速率为______m?s。
9、有两瓶气体，一瓶是氧气，另一瓶是氦气（均视为刚性分子理想气体），若它们的压强、体积、温度均相同，则氧气的内能是氦气的 倍。
二、选择题
47
?1?1第二篇 热学
1、摩尔数相同的氦(He)和氢(H2)，其压强和分子数密度相同，则它们的 （ ）
A、分子平均速率相同； B、分子平均动能相等； C、内能相等； D、平均平动动能相等。 2、一瓶氮气和一瓶氧气，它们的压强和温度都相同，但体积不同，则它们的（ ）
A、单位体积内的分子数相同； B、单位体积的质量相同； C、分子的方均根速率相同； D、气体内能相同。 3、若室内生起炉子后温度从15C升高到27C，而室内气压不变，则此时室内的分子数减少了 （ ）
A、0．5% ； B、4% ； C、9% ； D、21% 。
4、一个容器内贮有1摩尔氢气和1摩尔氦气，若两种气体各自对器壁产生的压强分别为p1和p2，则两者的大小关系是： （ ）
A、p1?p2； B、p1?p2； C、 p1?p2； D、不确定。 5、一定质量的某理想气体按
pT0
0
图5-17 =恒量的规律变化，则理想气体的分子数密度 （ ）
A、升高； B、不变； C、不能确定； D、降低。
6、一瓶氦气和一瓶氮气质量密度相同，分子平均平动动能相同，而且它们都处于平衡态，则它们 （ ）
A、温度相同、压强相同； B、温度、压强都不同；
C、温度相同，但氦气的压强大于氮气的压强； D、温度相同，但氦气的压强小于氮气的压强。 7、一定质量的理想气体的内E随体积V的变化关系为一直线，如图5-18所示(其延长线过E--V图的原点)，则此直线表示的过程为 （ ）
A、等压过程； B、等温过程； C、等体过程； D、绝热过程。
8、在封闭容器中，有一定量的N2理想气体,当温度从1TK增加到10TK时,分解成N原子气体.此时系统的内能为原来的 （ ）
A、1/6 B、12倍 C、6倍 D、15倍
9.一密封的理想气体的温度从27oC起缓慢地上升,直至其分子速率的方均根值是27oC的方均根值的两倍,则气体的最终温度为 （ ）
A、327oC B、600oC C、927oC D、1200oC
10、两瓶不同类的理想气体,其分子平均平动动能相等,但分子数密度不相等，则 （ ）
A、压强相等,温度相等； B、温度相等,压强不相等； C、压强相等,温度不相等； D、方均根速率相等。 三、计算题
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图5-18