随机过程部分
第一章 随机过程的概念与基本类型 第一节 随机过程的基本概念
自然界事物的变化过程通常可以分为两类：一类变化过程是具有确定形式的，即当条件满足时变化规律是确定的。这种过程常可以用一个参数的确定函数来表示，这种过程称为确定性过程，如在真空中的自由落体，下落的路程便可表为时间参数t的函数
;另一类过程没有确定的变化过程，其变化规律也不
是必然的，它不能用一个参数的确定函数来描述，即对此变化过程进行重复观测
时，所得到的参数的函数不尽相同，这种过程称为随机过程。 一、实例
例1 热噪声电压
电子元件或器件由于内部微观粒子（如电子）的随机热骚动引起的端电压称为热噪声电压。在通信中为消除设备中由热噪声电压对信号的持续干扰，必须考虑并研究热噪声电压随时间变化的过程。为此，通过某种装置对元件或设备两端的热噪声在时间T内进行测量，记录便可得到一个电压---时间的函数V1（t），它是不可预知的，在相同条件下，反复测量，记录便可得到不同的结果，记为Vi(t), i =1,2,……(见图)
热噪声电压的变化规律便可用所有可能测得的结果表示，表为{V（t）,t∈T}，称它为随机过程。
例2 飞行速度
某种飞机在理论上在时间T内有一个不变的速度V，但实际上飞行中由于各种原因其飞行速度在V值附近摆动。将每次飞行看为一次实验，对应此实验结果便是一次实际飞行速度的记录，可记为Vi(t)，为了研究飞机在飞行过程中飞行速度变化过程的概率特性，需考虑所有可能的飞行速度的全体，记为{V（t）,t∈T },称它为一个随机过程，对于不同实验结果有不同的实际飞行速度结果Vi(t)与之对应。（见图）
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例3 呼唤次数 观察某电话交换台从t=0时刻开始接到的呼唤次数随时间变化的情况，令Xi(t)表示第i次观测结果（i=1,2,……）(见图)
在T=[0，+∞]内所有可能结果，记为{X（t）,t∈T }，它便为一随机过程。在实践中究竟是哪个呼唤次数随时间变化的函数要看具体的实验结果。 二、随机过程的定义
定义1. 设某实验的样本空间为Ω={e}，对每一个实验结果e∈Ω,总有一个参数集T∈（-∞，+∞）上的函数X（e，t）与之对应，于是对所有e∈Ω，便有一族参数t的函数，称此族函数为定义在Ω上的随机过程，记为{X（e，t），t∈T，e∈Ω }，常简记为{X（t），t∈T }，有时也更简单记为X（t）。 随机过程的概念也可以与随机变量的概念类比来理解：设试验的样本空间为Ω={e}
一维随机变量X=X（e），---依试验结果而取值的变量。
二维随机变量（X，Y）=（X（e），Y（e））---依试验结果而取值的二维向量。 n维随机变量(X1,X2,?,Xn)?(X1(e),X2(e),?,Xn(e))---依试验结果而取值的n维向量。
随机过程{X（t）,t∈T }={X（e,t）,t∈T }---依试验结果而取函数的函数族。 必须注意的是：随机过程{X（e,t）,t∈T }具有两重意义：
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（1） 当e∈Ω确定时，X（e,t）= X（t）为参数t的函数，它是定义在参数
集T上通常意义下的函数，称它为此随机过程的一个样本函数（或一个实现），记为χ（t）。 （2） 当t∈T固定时，X（t）=X（e,t）便为一随机变量，称为此随机过程的状态。对任意t∈T，随机变量X（t）所有可能取值的全体称为此随机过程{X（t）,t∈T }的状态空间，记为X 。对X（t0）=X0∈X 就说随机过程{X（t）,t∈T }在参数值t0处于状态X0。
定义2 . 设Ω为某试验的样本空间，T∈（-∞，+∞）为参数集，对每一个t∈T，有定义在Ω上的随机变量X（e,t）= X（t）与之对应，则称此随机变量的全体{X（e，t），t∈T，e∈Ω }为一随机过程，简记为{X（t）,t∈T }或间记为X（t）。
例4． 随机振幅波
设 X(t)?Xcos?t其中?为常数，X为随机变量，且X~N(01)，参数集为T=（-∞，+∞），则{X（t）,t∈T }为一随机过程，其状态空间 =（-∞，+∞）每次试验结果对应随机变量X的一个可能值，记为Xi,于是xi(t)?xicos?t便是此随机过程的一个样本函数（见图）
等等均为随机变量。 例5．随机相位波
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?~U[0,2?],{X(t), 设X(t)?Acos(?t??),其中A, ω为常数，t∈T}便为一随机过程，对每个t∈T，X(t)便是一个随机变量；而对每个实验结果，ψ在[0，2π]便有一可能的值θ与之对应，此时X(t)?Acos(?t??)便为一个样本函数，此随机过程的样本空间为x =[-A,A]
第二节 随机过程的分布律与数字特征 一、 随机过程的一维分布
设 {X(t),t?T}为一随机过程，对任意t∈T ，X(t)为一随机变量，其分布函数为F(x,t)=P{X(t) ≤ x} x∈(-∞,∞)(有时也可记为Ft(x))，称F(x,t)为随
机过程{ X(t)，t∈T }的一维分布函数，称函数族{ F(x,t)，t∈T }为此随机过程的一维分布函数族。
特别，如果对任意t∈T，状态X(t)为连续型随机变量，它便具有概率密度f(x;t)（也可记为ft(x)）使得
，此时称f(x;t)为随机过程的一维
概率密度，而称函数族{ f(x;t)； t∈T} 为该随机过程的一维概率密度族。 例1． 考虑随机过程X(t)=Xcosωt, t∈(-∞,∞)，其中ω为常数，X～N(0,1),求此随机过程的一维概率密度。
解：对任意给定的t∈(-∞,∞),X(t)= Xcosωt便为一随机变量，其中cosωt为常量，它便是随机变量X的线性函数，我们曾得到过这样的结果：
便服从正态分布
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所以X(t)的一维概率密度为
二、 随机过程的二维分布
为了研究随机过程{X（t）,t∈T}在不同时刻的状态之间的联系及联合概率特性，需引进随机过程的二维分布。
对任意t1,t2∈T，便有两个状态X(t1)和X(t2),它们为两个随机变量，由它们构成的二维随机变量（X（t1），X（t2））便有联合分布函数
为随机过程的二维
分布函数，而
为随机过程的二维分布函数族。
则称f2(x1,x2;t1,t2)为此随机过程的二维概率密度，而称{f2(x1,x2;t1,t2),t1,t2?T}为其二维概率密度族。
例2．将一枚均匀硬币上抛一次，观察正反面出现的情况，并定义随机过程为
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