它们完全确定了此n维状态 的概率密度，即为
其中
它也是随机过程 的n维概率密度。可见此概率密度完全由μ和C来
所确定。总之，正态过程
和自协方差函数
确定，而μ和C又完全由 ?X(t)和
的有限维分布，即其全部统计特性可由其均值函数
所确定。
2.正态过程为独立过程（即任意有限个状态彼此独立的过程）的充分必要条件是：
3.随机过程 为正态过程的充分必要条件是其任意有限个状态的
任意线性组合为一维正态变量， 即如果
为正态过程，则对任意正整数n及任意实数
，
及任意不全为零的常数 对任意正整数n，任意实数
服从一维正态分布，反之，如果和任意不全为零的常数
使
得 服从一维正态分布，则随机过程 便为正态过程。
2、3的证明可由n维正态分布的性质即可得到。 这条性质往往用来证明一个过程是正态过程。 例:设随机过程
.其中ω为常数,E(U)=E(V)=0,
21
E(U2)?E(V2)??2且U与V是相互独立的正态变量.试证 程,并求其一维概率密度和二维概率密度. 解:对任意正整数n及任意实数
为正态过
,及任意n个不完全为零常数
因为U,V独立同分布于正态分布N(0,σ2),故其线性组合,即
必服从一维正态分布,由前面性质3便可得证
为正态过程. 由于
为正态过程，于是对任意t≥0,X(t)便为正态变量，且
总之，
，于是便知
的一维概率密度为
22
G
于是其协方差矩阵便为
C
维纳过程
定义 设｛X（t），t≥0｝为一随机过程，其状态空间为x=（-∞，+∞），且满足下列三个条件：
（1）｛X（t），t≥0｝为独立的增量过程；
（2）对任意0≤s ＜ t, X(t)-X(s)～N(0,?2(t?s))(其中σ＞0为常数) （3）X（0）=0
则称｛X（t），t≥0｝为参数是的维纳过程。 关于维纳过程有以下重要结果： 1 若｛X（t），t≥0｝为维纳过程 则有
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μx(t)=0
事实上，由于
故
又因为，对任意 有
且
2.维纳过程必为正态过程. 事实上，设
为维纳过程，对任意正整数n及任意实数 及任意实数
则有 .
GD
24
由维纳过程定义可知
且彼此独立。故 服从一维正态分布。再由正态过程的性质
例：设 为维纳过程（参数 ），试证明
也必为维纳过程，其中C为正常数。 证：对任意正整数n及任意实数
便有
再由
t??t为独立增量过程可知 X1(tk)?X1(tk?1)?C?X(k2)?X(k?21)?
C??C彼此独立，故 也为独立增量过程。
GD
又因为，对任意 有
所以
25