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【2013年中考攻略】专题2：待定系数法应用探讨
在数学问题中，若得知所求结果具有某种确定的形式，则可设定一些尚待确定的系数(或参数)来表示这样的结果，这些待确定的系数(或参数)，称作待定系数。然后根据已知条件，选用恰当的方法，来确定这些系数，这种解决问题的方法叫待定系数法。待定系数法是数学中的基本方法之一。它渗透于初中数学教材的各个部分，在全国各地中考中有着广泛应用。
应用待定系数法解题以多项式的恒等知识为理论基础，通常有三种方法：比较系数法；代入特殊值法；消除待定系数法。
比较系数法通过比较等式两端项的系数而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“已知x?3=（1?A）·x＋Bx＋C，求A，B，C的值”，解答此题，并不困难，只需将右式与左式的多项式中对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值。这里的A，B，C就是有待于确定的系数。
代入特殊值法通过代入特殊值而得到方程（组），从而使问题获解。例如：“点（2，﹣3）在正比例函数图象上，求此正比例函数”，解答此题，只需设定正比例函数为y=kx，将（2，﹣3）代入即可得到k的值，从而求得正比例函数解析式。这里的k就是有待于确定的系数。
消除待定系数法通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。例如：“已知代入
a?ba?bba?232
2
，求
a?ba?b的值”，解答此题，只需设定
ba?23=k，则a=3k，b=2k，
即可求解。这里的k就是消除的待定参数。
应用待定系数法解题的一般步骤是：
（1）确定所求问题的待定系数，建立条件与结果含有待定的系数的恒等式； （2）根据恒等式列出含有待定的系数的方程（组）； （3）解方程（组）或消去待定系数，从而使问题得到解决。
在初中阶段和中考中应用待定系数法解题常常使用在代数式变型、分式求值、因式分解、求函数解析式、求解规律性问题、几何问题等方面。下面通过2011年和2012年全国各地中考的实例探讨其应用。
一. 待定系数法在代数式变型中的应用：在应用待定系数法解有关代数式变型的
问题中，根据
右式与左式多项式中对应项的系数相等的原理列出方程（组），解出方程（组）即可求得答
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案。
典型例题：
例：（2011云南玉溪3分）若x2?6x?k是完全平方式，则k=【 】
A．9 B．－9 【答案】A。
【考点】待定系数法思想的应用。
【分析】设x2?6x?k=?x+A?，则x2?6x?k=x2?2Ax?A2，
?2A=6?A=3??∴?2。故选A。 k=9A=k??2C．±9 D．±3
练习题：
1.（2012江苏南通3分）已知x2＋16x＋k是完全平方式，则常数k等于【 】 A．64 B．48 C．32 D．16
2.（2012贵州黔东南4分）二次三项式x﹣kx+9是一个完全平方式，则k的值是 ▲ 。 3.（2011江苏连云港3分）计算 (x＋2)的结果为x＋□x＋4，则“□”中的数为【 】 A．－2 B．2 C．－4 D．4
4.（2011湖北荆州3分）将代数式x2?4x?1化成(x?p)2?q的形式为【 】 ?
A.(x?2)2?3? B.(x?2)2?4? C.(x?2)2?5 D.(x?4)2?4
2
2
2
二. 待定系数法在分式求值中的应用：在一类分式求值问题中，已知一比例式
求另一分式的值，可设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求分式，从而使问题获解。
典型例题：
例：（2012四川凉山4分）已知
A．
23ba?513，则
94a?ba?b的值是【 】 D．
49 B．
32 C．
【答案】D。
【考点】比例的性质。 【分析】∵
ba?=513，∴设
ba?513=?k，则b=5k， a=13k，把a，b的值代入49a?ba?b，得，
a?ba?b13k?5k13k?5k=8k18k。故选D。
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练习题：
1.（2012北京市5分）已知
a2=a2a?bb3?0，求代数式
23ba5a－2b(a+2b)(a?2b)?(a?2b)的值。
2.（2011四川巴中3分）若
?，则= ▲ 。
三. 待定系数法在因式分解中的应用：在因式分解问题中，除正常应用提取公
因式法、应用公式法、十字相乘法、分组分解法等解题外还可应用待定系数法求解，特别
223x?5xy?2y?x?9y?4，对于三项以上多项式的分解有很大作用（如：x3－6x2+11x－6，
目前这类考题很少，但不失为一种有效的解题方法）。
典型例题：
例1：（2012湖北黄石3分）分解因式：x2?x?2＝ ▲ 。 【答案】（x－1）（x＋2）。 【考点】因式分解。
【分析】设x2?x?2??x?A??x?B?，
?A?B=1?A?B=?2?A=?1?B=2?A=2?B=?1 ∵?x?A??x?B??x2??A?B?x?A?B，? ∴x2?x?2=?x?1??x?2?。
，解得?或?，
〖注：本题实际用十字相乘法解题更容易，但作为一种解法介绍于此。〗
例2：分解因式：3x2?5xy?2y2?x?9y?4 ▲ 。 【答案】?3x?y?4??x?2y?1?。 【考点】因式分解。
【分析】∵3x2?5xy?2y2??3x?y??x?2y?，
∴可设3x2?5xy?2y2?x?9y?4??3x?y?a??x?2y?b?。
∵?3x?y?a??x?2y?b??3x2?5xy?2y2??a?3b?x?(2a?b)y?ab，
2222 ∴3x?5xy?2y?x?9y?4?3x?5xy?2y??a?3b?x?(2a?b)y?ab。
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?a?3b=1①? 比较两边系数，得?2a?b=9②。
??ab=?4③ 联立①，②得a=4，b=－1。代入③式适合。 ∴3x2?5xy?2y2??3x?y?4??x?2y?1?。
练习题：
1. （2012四川南充3分）分解因式：x2?4x?12 = ▲ 。 2. （2012山东潍坊3分）分解因式：x—4x—12x= ▲ 。 3. （2011贵州黔东南4分）分解因式：x2?2x?8? ▲ 。
3
2
四. 待定系数法在求函数解析式中的应用：待定系数法是解决求函数解析式问
题的常用方法，求函数解析式是初中阶段待定系数法的一个主要用途。确定直线或曲线方程就是要确定方程中x的系数与常数，我们常常先设它们为未知数，根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，将已知的条件代入方程，求出待定的系数与常数。这是平面解析几何的重要内容，是求曲线方程的有效方法。初中阶段主要有正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数这几类函数，前面三种分别可设y=kx，y=kx+b，y?
kx
的形式(其中k、b为待定系
数，且k≠0)。而二次函数可以根据题目所给条件的不同，设成一般式y=ax2+bx+c(a、b、c为待定系数)，顶点式y=a (x－h) 2+k(a、k、h为待定系数)，交点式y=a (x－x1)(x－x2)( a 、x1、x2为待定系数)三类形式。根据题意(可以是语句形式，也可以是图象形式)，确定出a、b、c、k、x1、x2等待定系数，求出函数解析式。
典型例题：
例1：（2012江苏南通3分）无论a取什么实数，点P(a－1，2a－3)都在直线l上，Q(m，
n)是直线l上的点，则(2m－n＋3)2的值等于 ▲ ． 【答案】16。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，求代数式的值。 【分析】∵由于a不论为何值此点均在直线l上，
∴令a=0，则P1（－1，－3）；再令a=1，则P2（0，－1）。 设直线l的解析式为y=kx+b（k≠0），
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∴ ???k?b??3? b??1 ，解得??k?2? b??1 。
∴直线l的解析式为：y=2x－1。
∵Q（m，n）是直线l上的点，∴2m－1=n，即2m－n=1。 ∴(2m－n＋3)=（1+3）2=16。
例2：（2012山东聊城7分）如图，直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，﹣2）．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△BOC=2，求点C的坐标．
2
【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB过点A（1，0）、点B（0，﹣2）， ∴??k?b?0?b=?2，解得??k?2?b=?2。
∴直线AB的解析式为y=2x﹣2。 （2）设点C的坐标为（x，y），
∵S△BOC=2，∴
12?2?x=2，解得x=2。
∴y=2×2﹣2=2。
∴点C的坐标是（2，2）。
【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
【分析】（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A（1，0）、点B（0，﹣2）分别代入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式。
（2）设点C的坐标为（x，y），根据三角形面积公式以及S△BOC=2求出C的横坐标，
再代入直线即可求出y的值，从而得到其坐标。
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