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练习题：
1. （2012山东济宁6分）问题情境：
用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放，则第2012个图共有多少枚棋子？
建立模型：
有些规律问题可以借助函数思想来探讨，具体步骤：第一步，确定变量；第二步：在直角坐标系中画出函数图象；第三步：根据函数图象猜想并求出函数关系式；第四步：把另外的某一点代入验证，若成立，则用这个关系式去求解． 解决问题：
根据以上步骤，请你解答“问题情境”．
2.（2012江苏宿迁3分）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是 ▲ .
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3.（2012广西桂林3分）下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n
个图中阴影部分小正方形的个数是 ▲ ．
4.（2012青海省2分）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有 ▲ 个★． 5.（2012浙江宁波6分）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
六. 待定系数法在几何问题中的应用： 在几何问题中，常有一些比例问题（如
相似三角形对应边成比例，平行线截线段成比例，锐角三角函数等），对于这类问题应用消除待定系数法，通过设定待定参数，把相关变量用它表示，代入所求，从而使问题获解。
典型例题：
例1：（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片ABCD中，∠A=60，将纸片折叠，点A、D分别落在A’、D’处，且A’D’经过B，EF为折痕，当D’F?CD时，
CFFD0
的值为【 】
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A.
3?12 B.
36 C.
23?16 D.
3?18
【答案】A。
【考点】翻折变换（折叠问题），菱形的性质，平行的性质，折叠的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。
【分析】延长DC与A′D′，交于点M，
∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°， ∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD。 ∴∠D=180°－∠A=120°。 根据折叠的性质，可得 ∠A′D′F=∠D=120°，
∴∠FD′M=180°－∠A′D′F=60°。
∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°－∠FD′M=30°。
∵∠BCM=180°－∠BCD=120°，∴∠CBM=180°－∠BCM－∠M=30°。∴∠CBM=∠M。 ∴BC=CM。
设CF=x，D′F=DF=y， 则BC=CM=CD=CF+DF=x+y。∴FM=CM+CF=2x+y， 在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°=
D?F FM?y2x?y?33，∴x?3-12y。
∴
CF FD?xy?3-12。故选A。
例2：（2012江苏扬州3分）如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果
ABBC?23，那么tan∠DCF的值是 ▲ ．
【答案】52。
【考点】翻折变换(折叠问题)，翻折对称的性质，矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数定
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义。
【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°，
∵将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，∴CF＝BC， ∵
ABBC?23，∴
CDCF?23。∴设CD＝2x，CF＝3x，
DFCD?5x2x=52∴DF=CF2?CD2?5x。∴tan∠DCF＝
。
例3：（2012贵州铜仁10分）如图，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα=下列问题：
（1）ctan30°= ； （2）如图，已知tanA=
34角?的邻边角?的对边?ACBC，根据上述角的余切定义，解
，其中∠A为锐角，试求ctanA的值．
例4：（2012江苏镇江11分）等边△ABC的边长为2，P是BC边上的任一点（与B、C不重合），连接AP，以AP为边向两侧作等边△APD和等边△APE，分别与边AB、AC交于点
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M、N（如图1）。 （1）求证：AM=AN； （2）设BP=x。
①若，BM=，求x的值；
83②记四边形ADPE与△ABC重叠部分的面积为S，求S与x之间的函数关系式以及S的最小值；
③连接DE，分别与边AB、AC交于点G、H（如图2），当x取何值时，∠BAD=15？并判断此时以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是什么特殊三角形，请说明理由。
0
【答案】解：（1）证明：∵△ABC、△APD和△APE都是等边三角形， ∴AD=AP∴∠DAM=∠PAN。
∴△ADM≌△APN（ASA），∴AM=AN。
（2）①易证△BPM∽△CAP，∴BMCP?BPCA3，
∠DAP=∠BAC=600
，
∠ADM=∠APN=600
。
，
3 ∵BN=，AC=2，CP=2－x，∴882?x?x2，即4x2?8x+3=0。
解得x=
12或x=
32。
②四边形AMPN的面积即为四边形ADPE与△ABC重叠部分的面
积。
∵△ADM≌△APN，∴S?ADM?S?APN。
∴S四边形AMPN?S?APM?S?ANP? S?APM?S?ADM?S?ADP。 如图，过点P作PS⊥AB于点S，过点D作DT⊥AP于点T，则点T
是AP的中点。
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