快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
例3：（2012湖南岳阳8分）游泳池常需进行换水清洗，图中的折线表示的是游泳池换水清洗过程“排水﹣﹣清洗﹣﹣灌水”中水量y（m3）与时间t（min）之间的函数关系式． （1）根据图中提供的信息，求整个换水清洗过程水量y（m3）与时间t（min）的函数解析式；
（2）问：排水、清洗、灌水各花多少时间？
【答案】解：（1）排水阶段：设解析式为：y=kt+b，
∵图象经过（0，1500），（25，1000）， ∴?20t+1500。
清洗阶段：y=0。
灌水阶段：设解析式为：y=at+c， ∵图象经过（195，1000），（95，0）， ∴?950。
（2）∵排水阶段解析式为：y=﹣20t+1500，∴令y=0，即0=﹣20t+1500，解得：
t=75。
∴排水时间为75分钟。
清洗时间为：95﹣75=20（分钟），
∵根据图象可以得出游泳池蓄水量为1500 m3，
∴1500=10t﹣950，解得：t=245。故灌水所用时间为：245﹣95=150（分钟）。
【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。
? 195a+c=1000 ?95a+c=0? b=1500 ?25k+b=1000，解得：?? k=?20 ?b=1500。∴排水阶段解析式为：y=﹣
，解得：?? a=10 ?b=?950。∴灌水阶段解析式为： y=10t﹣
- 6 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
【分析】（1）根据图象上点的坐标利用待定系数法分别得出排水阶段解析式，以及清洗阶段：y=0和灌水阶段解析式即可。
（2）根据（1）中所求解析式，即可得出图象与x轴交点坐标，即可得出答案。
例4：（2012湖南娄底3分）已知反比例函数的图象经过点（﹣1，2），则它的解析式是【 】 A．y??12x B．y??2x C． y?
2x
D． y?
1x
【答案】B。
【考点】待定系数法求反比例函数解析式，曲线上点的坐标与方程的关系。 【分析】设反比例函数图象设解析式为y?
将点（﹣1，2）代入y?
kx
kx
，
2x得，k=﹣1×2=﹣2。则函数解析式为y??2
。故选B。
例5：（2012江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3， (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)求△ABD的面积；
(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．
【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，
∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．
把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得
?c=3?b=2，解得。 ???4+2b+c=3c=3??∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。 (2)∵y＝－x＋2x＋3＝－(x－1)＋4，
2
2
- 7 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。 令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。 ∴AB＝3－(－1)＝4。
∴△ABD的面积＝×4×4＝8。
21(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）
(2)可知OA＝1，OC=3，
∵点A对应点G的坐标为(3，2)。 ∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2， ∴点G不在该抛物线上。
【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。
【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。
(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝
对值为高，可求出△ABD的面积。
(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析
式中直接进行判定即可。
例6：（2012江苏无锡2分）若抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），则抛物线的函数关系式为 ▲ ． 【答案】y=﹣x2+4x﹣3。
【考点】待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。
2
【分析】∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点是A（2，1），∴可设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）+1。
又∵抛物线y=a（x﹣2）2+1经过点B（1，0），∴（1，0）满足y=a（x﹣2）2+1。 ∴将点B（1，0）代入y=a（x﹣2）2得，0=a（1﹣2）2即a=﹣1。 ∴抛物线的函数关系式为y=﹣（x﹣2）2+1，即y=﹣x2+4x﹣3。
例7：（2012浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线． （1）求二次函数的解析式；
（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；
- 8 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H． ①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标； ②若⊙M的半径为455，求点M的坐标．
【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）
∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），
将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。
∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x﹣x﹣2。 （2）设OP=x，则PC=PA=x+1，
在Rt△POC中，由勾股定理，得x+2=（x+1）， 解得，x=
322
2
22
，即OP=
32。
（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。
（i）如图1，当H在点C下方时， ∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。 ∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。 ∴M（1，﹣2）。
（ii）如图2，当H在点C上方时， ∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。
由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点， 设直线CM′的解析式为y=kx﹣2， 把P（∴y=
4332，0）的坐标代入，得
32k﹣2=0，解得k=
43。
x﹣2。
- 9 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
由
43x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=
43?739?2=10973。
此时y=
7。
∴M′（， 310）。
45②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=在Rt△AOC中，AC=AO2+CO2=12+22=5。 ∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD， ∴△AED∽△AOC，
4ADACDEOC 5，
∴
=，即AD5=552，解得AD=2。
∴D（1，0）或D（﹣3，0）。
过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图 则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。 当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根， 当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0， 解得x1??1?217，x2??1?2?1+17217。
?1+172， 3?∴点M的坐标为（， 3+17）或（。 17）
【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。
【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。
（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。
（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下
方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是－2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。
- 10 -