快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相
似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。
练习题：
1. （2012上海市10分）某工厂生产一种产品，当生产数量至少为10吨，但不超过50吨时，每吨的成本y（万元/吨）与生产数量x（吨）的函数关系式如图所示． （1）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；
（2）当生产这种产品的总成本为280万元时，求该产品的生产数量． （注：总成本=每吨的成本×生产数量）
2. （2012山东菏泽7分）如图，一次函数y=?23x?2的图象分别与x轴、y轴交于点A、
B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90°．求过B、C两点直线的解析式．
3. （2012甘肃兰州4分）近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(m)成反比例，已知400度近视眼镜镜片的焦距为0.25m，则y与x的函数关系式为【 】 A．y=400x B．y=14x C．y=100x D．y=1400x
4. （2012广东佛山8分）(1)任选以下三个条件中的一个，求二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式；
①y随x变化的部分数值规律如下表：
- 11 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
x y －1 0 0 3 1 4 2 3 3 0 ②有序数对（－1，0），（1，4），（3，0）满足y=ax2＋bx＋c； ③已知函数y=ax＋bx＋c的图象的一部分（如图）．
2
(2)直接写出二次函数y=ax＋bx＋c的三个性质．
5. （2012山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴
交于点C(0，3)，与x轴交于A、B两点． (1)求抛物线的表达式；
(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积； (3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否
存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2
6. （2012山东潍坊11分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A(－2，O)、B(2，0)、C(0，－l)三点，过坐标原点O的直线y=kx与抛物线交于M、N两点．分别过点C、D(0，－2)作平行于x轴的直线l1、l2．
(1)求抛物线对应二次函数的解析式；
- 12 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
(2)求证以ON为直径的圆与直线l1相切；
(3)求线段MN的长(用k表示)，并证明M、N两点到直线l2的距离之和等于线段MN的长．
五. 待定系数法在求解规律性问题中的应用： 近几年中考数学中常会出现一种
寻找规律的题型，其中有一类实际是高中数学中的等差数列或二阶等差数列，由于初中没有学习它们的通项公式和递推法求二阶等差数列的通项，因此中考学生在确定数列的通项时有一定的困难。对于等差数列的通项公式an?a1??n?1?d?dn?a1?d (其中a1为首项，d为公差，n为正整数)，若将n看成自变量， an看成函数，则an是关于n的一次函数；若一列数a1,a2,…an满足an?an?1?kn?b (其中k,b为常数)，则这列数是二阶等差数列，即每一后项减去前项得到一新的数列，这一新数列是等差数列。它的通项an?an2?bn?c是关于n的二次函数。前面，我们讲过用待定系数法确定函数解析式，由于数列是特殊的函数，因此我们可以用待定系数法来确定等差数列和二阶等差数列的通项。
典型例题：
例1：（2012湖北孝感3分）2008年北京成功举办了一届举世瞩目的奥运会，今年的奥运会
将在英国伦敦举行，奥运会的年份与届数如下表所示： 年份 届数 1896 1 1900 2 1904 3 … … 2012 n 表中n的值等于 ▲ ． 【答案】30。
【考点】分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】寻找规律：设奥运会的届数为x，年份为y，二者之间的关系为y=kx+b。
- 13 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
将（1，1896），（2，1900）代入，得??k+b=1896?2k+b=1900，解得??k=4?b=1892。
∴y=4x+1892。检验：（3，1904）符合。∴奥运会的届数与年份之间的关系为
y=4x+1892。
当y=2012时，2012=4x+1892，解得x=30。 ∴n=30。
例2：（2012山西省3分）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是 ▲ ．
【答案】4n﹣2。
【考点】分类归纳（图形的变化类），待定系数法。
【分析】由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个，第二图案有阴影小三角形6个，第三个图案有阴影小三角形10个，…，即形成数对（1，2），（2，6），（3，10），…。 设阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=kx+b， 将（1，2），（2，6）代入，得??k+b=2?2k+b=6，解得??k=4?b=?2。
∴y=4x?2。检验：（3，10）符合。∴阴影小三角形的个数与图案的次序之间的关系为y=4x?2。
∴当x= n时，y=4n?2。
∴第n个图案中阴影小三角形的个数是4n?2。
例3：（2012湖南永州3分）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如1，3，9，19，33，…就是一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差．如2，4，6，8，10就是一个等差数列，它的公差为2．如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差数列，则称这个数列为二阶等差数列．例如数列1，3，9，19，33，…，它的后一个数与前一个数的差组成的新数列是2，6，10，14，…，这是一个公差为4的等差数列，所以，数列1，3，9，19，33，…是一个二阶等差数列．那么，请问二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是 ▲ ．
- 14 -
快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
【答案】21。
【考点】新定义，分类归纳（数字的变化类），待定系数法。
【分析】由已知，二阶等差数列1，3，7，13，…与次序之间形成数对（1，1），（2，3），（3，7），（4，13）…。
设二阶等差数列与次序之间的关系为y=ax2+bx+c，
?a+b+c=1?a=1?? 将（1，1），（2，3），（3，7）代入，得?4a+2b+c=3，解得?b=?1。
?9a+3b+c=7?c=1?? ∴y=x2?x+1。检验：（4，13）符合。∴二阶等差数列与次序之间的关系为
y=x?x+1。
2 ∴当x= 5时，y=21。
∴二阶等差数列1，3，7，13，…的第五个数应是21。
- 15 -