快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123
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在Rt△BPS中，∵∠P=60，BP=x， ∴PS=BPsin60=0
32x，BS=BPcos60=
120
12x。
∵AB=2，∴AS=AB－BC=2－
2x。
21??3?222?2x?=x?2x+4∴AP?AS＋PS??2?x?+??2????2?。
∴S?ADP?∴
S?S四边形AMPN?S?ADP?34AP?212?AP?DT?12?AP?32AP=34AP。
234?x?2x+4?2?34?x?1?3342+334?0 ∴当x=1时，S的最小值为。 ③连接PG，设DE交AP于点O。 若∠BAD=150， ∵∠DAP =600，∴∠PAG =450。 ∵△APD和△APE都是等边三角形， ∴AD=DP=AP=PE=EA。 ∴四边形ADPE是菱形。 ∴DO垂直平分AP。 ∴GP=AG。∴∠APG =∠PAG =450。 ∴∠PGA =900。 设BG=t， 在Rt△BPG中，∠B=600，∴BP=2t，PG=3t。∴AG=PG=3t。 ∴3t+t=2，解得t=3－1。∴BP=2t=23－2。 ∴当BP=23－2时，∠BAD=150。 猜想：以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角 形。 ∵四边形ADPE是菱形，∴AO⊥DE，∠ADO=∠AEH=30 0。 - 21 - 快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123 0 0 0 0 ∵∠BAD=15，∴易得∠AGO=45，∠HAO=15，∠EAH=45。 设AO=a，则AD=AE=2 a，OD=3a。∴DG=DO－GO=（3－1） a。 又∵∠BAD=150，∠BAC=600，∠ADO=300，∴∠DHA=∠DAH=750。 ∵DH=AD=2a， ∴GH=DH－DG=2a－（3－1）a=（3－3）a， HE=2DO－DH=23a－2a=2（3－1）a。 ∵DG?GH???HE??2?222?3?1a?+?3????2?23a?=16?83a， ??2???23?1a?=16?83a， ??2??∴DG2?GH2?HE2。 ∴以DG、GH、HE这三条线段为边构成的三角形是直角三角形。 【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，二次函数的最值，菱形的判定和性质，勾股定理和逆定理。 【分析】（1）由△ABC、△APD和△APE都是等边三角形可得边角的相等关系，从而用ASA证明。 （2）①由△BPM∽△CAP，根据对应边成比例得等式，解方程即可。 ②应用全等三角形的判定和性质，锐角三角函数和勾股定理相关知识求得 S四边形AMPN?S?ADP， 用x的代数式表示S，用二次函数的最值原理求出S的最小值。 ③由∠BAD=150得到四边形ADPE是菱形，应用相关知识求解。 求出DG、GH、HE的表达式，用勾股定理逆定理证明。 练习题： 1. （2012江苏连云港3分）小明在学习“锐角三角函数”中发现，将如图所示的矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC上的点E处，还原后，再沿过点E的直线折叠，使点A落在BC上的点F处，这样就可以求出67.5°角的正切值是【 】 - 22 - 快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123 A．3＋1 B．2＋1 C．2.5 D．5 2. （2012广西河池3分）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，将矩形ABCD折叠，使点C 与点A重合，折痕为MN，连结CN．若△CDN的面积与△CMN的面积比为1︰4，则 的值为【 】 MNBM A．2 B．4 C．25 D．26 3. （2012广西柳州10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦． （1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹 的签字笔描黑）； 第一步，过点A作∠BAC的角平分线，交⊙O于点D； 第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E． 第三步，连接BD． （2）求证：AD2=AE?AB； （3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求 EOFO的值． 4. （2012黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN． - 23 - 快乐学习，天天向上 （龙岗） 28961123 （1）如图l，求证：PC=AN； （2） 如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK： CF=2：3，求DQ的长． 5. （2012四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点， 弦CE⊥AB 于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。 (1)求证：P是线段AQ的中点； (2)若⊙O的半径为5，AQ= 152，求弦CE的长。 - 24 -