特殊四边形综合题答案
1．如图，BD是正方形ABCD的对角线，BC=2，边BC在其所在的直线上平移，将通过平移得到的线段记为PQ，连接PA、QD，并过点Q作QO⊥BD，垂足为O，连接OA、OP． （1）请直接写出线段BC在平移过程中，四边形APQD是什么四边形？ （2）请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系，并加以证明；
（3）在平移变换过程中，设y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值．
解：（1）四边形APQD为平行四边形； （2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°，
∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°，∴OB=OQ， 在△AOB和△OPQ中，
∴△AOB≌△POQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠POQ， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP；
（3）如图，过O作OE⊥BC于E． ①如图1，当P点在B点右侧时，
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则BQ=x+2，OE=∴y=×
，
?x，即y=（x+1）2﹣，
又∵0≤x≤2，
∴当x=2时，y有最大值为2； ②如图2，当P点在B点左侧时，
则BQ=2﹣x，OE=∴y=×
，
?x，即y=﹣（x﹣1）2+，
又∵0≤x≤2，
∴当x=1时，y有最大值为；
综上所述，∴当x=2时，y有最大值为2；
2．已知在矩形ABCD中，∠ADC的平分线DE与BC边所在的直线交于点E，点P是线段DE上一定点（其中EP＜PD）
（1）如图1，若点F在CD边上（不与D重合），将∠DPF绕点P逆时针旋转90°后，角的两边PD、PF分别交射线DA于点H、G．
①求证：PG=PF； ②探究：DF、DG、DP之间有怎样的数量关系，并证明你的结论． （2）拓展：如图2，若点F在CD的延长线上（不与D重合），过点P作PG⊥PF，交射线DA于点G，你认为（1）中DF、DG、DP之间的数量关系是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请写出它们所满足的数量关系式，并说明理由．
【分析】（1）①若证PG=PF，可证△HPG≌△DPF，已知∠DPH=∠HPG，由旋转可知∠GPF=∠HPD=90°及DE平分∠ADC得△HPD为等腰直角三角形，即∠DHP=∠PDF=45°、PD=PH，即可得
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证；
②由△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF知HD=即可得；
（2）过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，先证△HPD为等腰直角三角形可得PH=PD，HD=再证△HPG≌△DPF可得HG=DF，根据DH=DG﹣HG=DG﹣DF可得DG﹣DF=解：（1）①∵∠GPF=∠HPD=90°，∠ADC=90°， ∴∠GPH=∠FPD， ∵DE平分∠ADC， ∴∠PDF=∠ADP=45°， ∴△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠PDF=45°， 在△HPG和△DPF中， ∵
，
DP．
DP，
DP，HG=DF，根据DG+DF=DG+GH=DH
∴△HPG≌△DPF（ASA）， ∴PG=PF； ②结论：DG+DF=
DP，
由①知，△HPD为等腰直角三角形，△HPG≌△DPF， ∴HD=
DP，HG=DF，
∴HD=HG+DG=DF+DG， ∴DG+DF=
DP；
DP，
（2）不成立，数量关系式应为：DG﹣DF=如图，过点P作PH⊥PD交射线DA于点H，
∵PF⊥PG，
∴∠GPF=∠HPD=90°， ∴∠GPH=∠FPD，
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∵DE平分∠ADC，且在矩形ABCD中，∠ADC=90°， ∴∠HDP=∠EDC=45°，得到△HPD为等腰直角三角形， ∴∠DHP=∠EDC=45°，且PH=PD，HD=∴∠GHP=∠FDP=180°﹣45°=135°， 在△HPG和△DPF中， ∵
DP，
∴△HPG≌△DPF， ∴HG=DF，
∴DH=DG﹣HG=DG﹣DF， ∴DG﹣DF=
DP．
3．已知正方形ABCD的边长为4，一个以点A为顶点的45°角绕点A旋转，角的两边分别与边BC、DC的延长线交于点E、F，连接EF．设CE=a，CF=b． （1）如图1，当∠EAF被对角线AC平分时，求a、b的值； （2）当△AEF是直角三角形时，求a、b的值；
（3）如图3，探索∠EAF绕点A旋转的过程中a、b满足的关系式，并说明理由．
【分析】（1）当∠EAF被对角线AC平分时，易证△ACF≌△ACE，因此CF=CE，即a=b． （2）分两种情况进行计算，①先用勾股定理得出CF2=8（CE+4）①，再用相似三角形得出4CF=CE（CE+4）②，两式联立解方程组即可；
（3）先判断出∠AFD=∠CEF，再判断出AF=EF，从而得到△ADF≌△FCE即可． 解：（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCF=∠DCE=90°
∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∴∠ACF=∠ACE，
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∵∠EAF被对角线AC平分， ∴∠CAF=∠CAE， 在△ACF和△ACE中，
，
∴△ACF≌△ACE， ∴CE=CE， ∵CE=a，CF=b， ∴a=b，
∵△ACF≌△ACE， ∴∠AEF=∠AFE， ∵∠EAF=45°，
∴∠AEF=∠AFE=67.5°，
∵CE=CF，∠ECF=90°，∠AEC=∠AFC=22.5°，∵∠CAF=∠CAE=22.5°， ∴∠CAE=∠CEA， ∴CE=AC=4， 即：a=b=4
；
（2）当△AEF是直角三角形时，
①当∠AFE=90°时，∴∠AFD+∠CFE=90°， ∵∠CEF+∠CFE=90°， ∴∠AFD=∠CEF
∵∠AFE=90°，∠EAF=45°， ∴∠AEF=45°=∠EAF ∴AF=EF，
在△ADF和△FCE中
∴△ADF≌△FCE，
∴FC=AD=4，CE=DF=CD+FC=8， ∴a=8，b=4 ②当∠AEF=90°时，
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