同①的方法得，CF=4，CE=8， ∴a=4，b=8． （3）ab=32， 理由：如图，
∵AB∥CD
∴∠BAG=∠AFC， ∵∠BAC=45°， ∴∠BAG+∠CAF=45°， ∴∠AFC+∠CAF=45°，
∵∠AFC+∠AEC=180°﹣（∠CFE+∠CEF）﹣∠EAF=180°﹣90°﹣45°=45°， ∴∠CAF=∠AEC， ∵∠ACF=∠ACE=135°， ∴△ACF∽△ECA， ∴
，
∴EC×CF=AC2=2AB2=32 ∴ab=32．
4．（2016?淄博）如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点M，N分别是边BC，CD上的动点（不与点B，C，D重合），AM，AN分别交BD于点E，F，且∠MAN始终保持45°不变． （1）求证：
=
；
（2）求证：AF⊥FM；
（3）请探索：在∠MAN的旋转过程中，当∠BAM等于多少度时，∠FMN=∠BAM？写出你的探索结论，并加以证明．
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【分析】（1）先证明A、B、M、F四点共圆，根据圆内接四边形对角互补即可证明∠AFM=90°，根据等腰直角三角形性质即可解决问题． （2）由（1）的结论即可证明．
（3）由：A、B、M、F四点共圆，推出∠BAM=∠EFM，因为∠BAM=∠FMN，所以∠EFM=∠FMN，推出MN∥BD，得到
=
，推出BM=DN，再证明△ABM≌△ADN即可解决问题．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD=∠CBD=45°，∠ABC=90°， ∵∠MAN=45°， ∴∠MAF=∠MBE， ∴A、B、M、F四点共圆， ∴∠ABM+∠AFM=180°， ∴∠AFM=90°， ∴∠FAM=∠FMA=45°， ∴AM=∴
=
AF， ．
（2）由（1）可知∠AFM=90°， ∴AF⊥FM．
（3）结论：∠BAM=22.5时，∠FMN=∠BAM
理由：∵A、B、M、F四点共圆， ∴∠BAM=∠EFM， ∵∠BAM=∠FMN， ∴∠EFM=∠FMN，
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∴MN∥BD， ∴
=
，∵CB=DC，
∴CM=CN， ∴MB=DN，
在△ABM和△ADN中，
，
∴△ABM≌△ADN， ∴∠BAM=∠DAN， ∵∠MAN=45°， ∴∠BAM+∠DAN=45°， ∴∠BAM=22.5°．
5．（2016?丽水）如图，矩形ABCD中，点E为BC上一点，F为DE的中点，且∠BFC=90°． （1）当E为BC中点时，求证：△BCF≌△DEC； （2）当BE=2EC时，求
的值；
，
（3）设CE=1，BE=n，作点C关于DE的对称点C′，连结FC′，AF，若点C′到AF的距离是求n的值．
【分析】（1）由矩形和直角三角形斜边上的中线性质得出CF=DE=EF，由等腰三角形的性质得出∠FEC=∠FCE，证出CF=CE，由ASA证明△BCF≌△DEC即可； （2）设CE=a，则BE=2a，BC=3a，证明△BCF∽△DEC，得出对应边成比例由勾股定理得出DC=
a，即可得出结果；
=
，得出ED2=6a2，
（3）过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，由直角三角形斜边上的中线性质得出∠FEC=∠FCE，证出∠ADF=∠BCF，由SAS证明△ADF≌△BCF，得出∠AFD=∠BFC=90°，证出四边形C′MFH是矩形，得出FM=C′H=
，设EM=x，则FC=FE=x+
，由勾股定理得出方程，解
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方程求出EM=得出n的值．
，FC=FE=+；由（2）得：，把CE=1，BE=n代入计算即可
（1）证明；∵在矩形ABCD中，∠DCE=90°，F是斜边DE的中点， ∴CF=DE=EF， ∴∠FEC=∠FCE，
∵∠BFC=90°，E为BC中点， ∴EF=EC，∴CF=CE， 在△BCF和△DEC中，∴△BCF≌△DEC（ASA）；
（2）解：设CE=a，由BE=2CE，得：BE=2a，BC=3a， ∵CF是Rt△DCE斜边上的中线， ∴CF=DE，
∵∠FEC=∠FCE，∠BFC=∠DCE=90°， ∴△BCF∽△DEC， ∴
=
，
，
即：=，
解得：ED2=6a2
由勾股定理得：DC?DE2?EC2?6a2?a2?5a， ∴
=
=
；
（3）解：过C′作C′H⊥AF于点H，连接CC′交EF于M，如图所示：
∵CF是Rt△DCE斜边上的中线， ∴FC=FE=FD， ∴∠FEC=∠FCE，
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∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD=BC， ∴∠ADF=∠CEF， ∴∠ADF=∠BCF， 在△ADF和△BCF中，∴△ADF≌△BCF（SAS）， ∴∠AFD=∠BFC=90°，
∵CH⊥AF，C′C⊥EF，∠HFE=∠C′HF=∠C′MF=90°， ∴四边形C′MFH是矩形， ∴FM=C′H=
，
，
，
设EM=x，则FC=FE=x+
在Rt△EMC和Rt△FMC中，
由勾股定理得：CE2﹣EM2=CF2﹣FM2， ∴12﹣x2=（x+解得：x=∴EM=
）2﹣（
）2， （舍去）， +，
，
；
，或x=﹣，FC=FE=
由（2）得：
把CE=1，BE=n代入上式计算得：CF=∴
解得：n=4．
6．如图1，在菱形ABCD中，AB=6
，
，tan∠ABC=2，点E从点D出发，以每秒1个单位长度
的速度沿着射线DA的方向匀速运动，设运动时间为t（秒），将线段CE绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CF． （1）求证：BE=DF； （2）当t= 6+6 秒时，DF的长度有最小值，最小值等于 12 ；
（3）如图2，连接BD、EF、BD交EC、EF于点P、Q，当t为何值时，△EPQ是直角三角形？ （4）如图3，将线段CD绕点C顺时针旋转一个角α（α=∠BCD），得到对应线段CG．在点E
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