∴点F到BC的距离为3﹣．
8．如图①，AD为等腰直角△ABC的高，点A和点C分别在正方形DEFG的边DG和DE上，连接BG，AE． （1）求证：BG=AE；
（2）将正方形DEFG绕点D旋转，当线段EG经过点A时，（如图②所示） ①求证：BG⊥GE；
②设DG与AB交于点M，若AG：AE=3：4，求
的值．
【分析】（1）如图①，根据等腰直角三角形的性质得AD=BD，再根据正方形的性质得∠GDE=90°，DG=DE，则可根据“SAS“判断△BDG≌△ADE，于是得到BG=AE；
（2）①如图②，先判断△DEG为等腰直角三角形得到∠1=∠2=45°，再由△BDG≌△ADE得到∠3=∠2=45°，则可得∠BGE=90°，所以BG⊥GE；
②设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x，利用等腰直角三角形的性质得DG=
GE=
x，由（1）
的结论得BG=AE=4x，则根据勾股定理得AB=5x，接着由△ABD为等腰直角三角形得到∠4=45°，BD=GM=
AB=
x，然后证明△DBM∽△DGB，则利用相似比可计算出DM=
的值．
x，所以
x，于是可计算出
（1）证明：如图①，
∵AD为等腰直角△ABC的高， ∴AD=BD，
∵四边形DEFG为正方形， ∴∠GDE=90°，DG=DE， 在△BDG和△ADE中
31
，
∴△BDG≌△ADE， ∴BG=AE；
（2）①证明：如图②，
∵四边形DEFG为正方形， ∴△DEG为等腰直角三角形， ∴∠1=∠2=45°，
由（1）得△BDG≌△ADE， ∴∠3=∠2=45°，
∴∠1+∠3=45°+45°=90°，即∠BGE=90°， ∴BG⊥GE；
②解：设AG=3x，则AE=4x，即GE=7x， ∴DG=
GE=
x，
∵△BDG≌△ADE，∴BG=AE=4x， 在Rt△BGA中，
AB?BG2?AG2?(4x)2?(3x)2?5x，
∵△ABD为等腰直角三角形， ∴∠4=45°，BD=∴∠3=∠4， 而∠BDM=∠GDB， ∴△DBM∽△DGB， ∴BD：DG=DM：BD，即∴GM=DG﹣DM=
AB=x，
x：x=
x=DM：x，
32
x，解得DM=x，
x﹣
∴==．
9．如图①，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点E在AC上（且不与点A，C重合），在△ABC的外部作△CED，使∠CED=90°，DE=CE，连接AD，分别以AB，AD为邻边作平行四边形ABFD，连接AF．
（1）请直接写出线段AF，AE的数量关系 AF=AE ；
（2）将△CED绕点C逆时针旋转，当点E在线段BC上时，如图②，连接AE，请判断线段AF，AE的数量关系，并证明你的结论；
（3）在图②的基础上，将△CED绕点C继续逆时针旋转，请判断（2）问中的结论是否发生变化？若不变，结合图③写出证明过程；若变化，请说明理由．
【分析】（1）如图①中，结论：AF=（2）如图②中，结论：AF=AEF是等腰直角三角形即可． （3）如图③中，结论不变，AF=
AE，连接EF，延长FD交AC于K，先证明△EDF≌△ECA，AE，只要证明△AEF是等腰直角三角形即可．
AE，连接EF，DF交BC于K，先证明△EKF≌△EDA再证明△
再证明△AEF是等腰直角三角形即可． 解：（1）如图①中，结论：AF=
AE．
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理由：∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB=DF， ∵AB=AC， ∴AC=DF， ∵DE=EC， ∴AE=EF，
∵∠DEC=∠AEF=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=
AE．
故答案为AF=
AE．
（2）如图②中，结论：AF=AE．
理由：连接EF，DF交BC于K． ∵四边形ABFD是平行四边形， ∴AB∥DF，
∴∠DKE=∠ABC=45°，
∴EKF=180°﹣∠DKE=135°，EK=ED， ∵∠ADE=180°﹣∠EDC=180°﹣45°=135°，∴∠EKF=∠ADE， ∵∠DKC=∠C， ∴DK=DC， ∵DF=AB=AC， ∴KF=AD，
在△EKF和△EDA中，
，
34
∴△EKF≌△EDA， ∴EF=EA，∠KEF=∠AED， ∴∠FEA=∠BED=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=
AE．
AE．
（3）如图③中，结论不变，AF=
理由：连接EF，延长FD交AC于K．
∵∠EDF=180°﹣∠KDC﹣∠EDC=135°﹣∠KDC， ∠ACE=（90°﹣∠KDC）+∠DCE=135°﹣∠KDC， ∴∠EDF=∠ACE， ∵DF=AB，AB=AC， ∴DF=AC
在△EDF和△ECA中，
，
∴△EDF≌△ECA， ∴EF=EA，∠FED=∠AEC， ∴∠FEA=∠DEC=90°， ∴△AEF是等腰直角三角形， ∴AF=
AE．
10．如图（1）矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止
（1）特殊情形：如图（2），发现当PM过点A时，PN也恰好过点D，此时，△ABP ∽ △PCD（填：“≌”或“～”
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