∴直线AD的解析式为y=﹣2x+5 令y=0，得x=， ∴点P坐标（，0），
（3）S△PAB=S△ABD﹣S△PBD=×2×2﹣×2×=2﹣=1.5．
24．如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP；
（3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）如图，连接OE．欲证明PE是⊙O的切线，只需推知OE⊥PE即可；
（2）由圆周角定理得到∠AEB=∠CED=90°，根据“同角的余角相等”推知∠3=∠4，结合已知条件证得结论；
（3）设EF=x，则CF=2x，在RT△OEF中，根据勾股定理得出52=x2+（2x﹣5）2，求得EF=4，进而求得BE=8，CF=8，在RT△AEB中，根据勾股定理求得AE=6，然后根据△AEB∽△EFP，得出
=，求得PF=
，即可求得PD的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OE．
∵CD是圆O的直径， ∴∠CED=90°． ∵OC=OE， ∴∠1=∠2．
又∵∠PED=∠C，即∠PED=∠1， ∴∠PED=∠2，
∴∠PED+∠OED=∠2+∠OED=90°，即∠OEP=90°， ∴OE⊥EP， 又∵点E在圆上， ∴PE是⊙O的切线；
（2）证明：∵AB、CD为⊙O的直径， ∴∠AEB=∠CED=90°， ∴∠3=∠4（同角的余角相等）． 又∵∠PED=∠1， ∴∠PED=∠4， 即ED平分∠BEP；
（3）解：设EF=x，则CF=2x， ∵⊙O的半径为5， ∴OF=2x﹣5，
在RT△OEF中，OE=OF+EF，即5=x+（2x﹣5）， 解得x=4， ∴EF=4，
∴BE=2EF=8，CF=2EF=8， ∴DF=CD﹣CF=10﹣8=2， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AB=10，BE=8， ∴AE=6，
2
2
2
2
2
2
∵∠BEP=∠A，∠EFP=∠AEB=90°， ∴△AEB∽△EFP， ∴
=
，即，
﹣2=
．
=，
∴PF=
∴PD=PF﹣DF=
25．如图，在直角坐标系中，点A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0），动点P从点A出发以1个单位/秒的速度在y轴上向下运动，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动，过点P作PD⊥y轴，交OB于D，连接DQ．当点P与点O重合时，两动点均停止运动．设运动的时间为t秒． （1）当t=1时，求线段DP的长；
（2）连接CD，设△CDQ的面积为S，求S关于t的函数解析式，并求出S的最大值； （3）运动过程中是否存在某一时刻，使△ODQ与△ABC相似？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）先由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）得出OA=4，AB=3，CO=6，再根据当t=1时，AP=1，则OP=3，再证出
=
，最后代入计算即可，
（2）先作DE⊥CO于点E，根据DE=OP=4﹣t得出S=×CQ×DE=﹣t2+4t，从而求出当t=2
时，S有最大值，
（3）分两种情况讨论：①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动，根据AB∥CO得出∠BOC=∠ABO＜∠ABC，证得BO=BC从而得出∠BOC=∠BCO＞∠BCA，根据AB∥CO得出∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC从而证出当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似；②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动，延长AB，根据AB∥CO得出∠ABC=∠DOQ，OQ=2t﹣6，再由DP∥AB可得OD=
，最后根据
=
和
时，分别进行计算，求出t的值，即可得出答案．
【解答】解：（1）如图1，由A（0，4），B（﹣3，4），C（﹣6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6， 当t=1时，AP=1，则OP=3， ∵PD⊥y轴，AB⊥y轴， ∴PD∥AB， ∴∴
=
，
=，
∴DP=；
（2）如图2，∵运动的时间为t秒，动点Q同时从点C出发以2个单位/秒的速度在x轴上向右运动， ∴CQ=2t， ∴AP=t，OP=4﹣t，
作DE⊥CO于点E，则DE=OP=4﹣t，
∴S=×CQ×DE=×2t×（4﹣t）=﹣t+4t=﹣（t﹣2）+4， 当t=2时，S最大值=4；
（3）如图3，分两种情况讨论：
①当0≤t＜3时，点Q在CO上运动（当t=3时，△ODQ不存在）， ∵AB∥CO，
∴∠BOC=∠ABO＜∠ABC， 可证得BO=BC，
∴∠BOC=∠BCO＞∠BCA，
2
2
∵AB∥CO，
∴∠BAC=∠ACO＜∠BCO=∠BOC，
∴当0≤t≤3时，△ODQ与△ABC不可能相似； ②当3＜t≤4时，点Q在x轴正半轴上运动， 延长AB， ∵AB∥CO，
∴∠FBC=∠BCO=∠BOC， ∴∠ABC=∠DOQ OQ=2t﹣6， 由DP∥AB可得OD=
，
当=时， =，t=；
当时， =，t=；
∴存在t=和t=，使△ODQ与△ABC相似．