实验一 : 一元函数微分学
实验1 一元函数的图形（基础实验）
实验目的 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解, 掌握运用函数的图形来观察和分析 函数的有关特性与变化趋势的方法,建立数形结合的思想; 掌握用Mathematica作平面曲线图性的方法与技巧.
基本命令
1. 在平面直角坐标系中作一元函数图形的命令Plot: Plot[f[x],{x,min,max},选项]
Plot有很多选项(Options), 可满足作图时的种种需要, 例如,输入
Plot[x^2,{x,-1,1},AspectRatio->1,PlotStyle->RGBColor[1,0,0],PlotPoints->30]
则输出y?x2在区间?1?x?1上的图形. 其中选项AspectRatio->1使图形的高与宽之比为1. 如 果不输入这个选项, 则命令默认图形的高宽比为黄金分割值. 而选项PlotStyle->RGBColor[1,0,0] 使曲线采用某种颜色. 方括号内的三个数分别取0与1之间. 选项PlotPoints->30令计算机描点作 图时在每个单位长度内取30个点, 增加这个选项会使图形更加精细.
Plot命令也可以在同一个坐标系内作出几个函数的图形, 只要用集合的形式{f1[x],f2[x],?} 代替f[x].
2.利用曲线参数方程作出曲线的命令ParametricPlot:
ParametricPlot[{g[t],h[t]},{t,min,max},选项]
其中x?g(t),y?h(t)是曲线的参数方程. 例如,输入
ParametricPlot[{Cos[t],Sin[t]},{t,0,2 Pi},AspectRatio->1]
则输出单位圆x?cost,y?sint的图形.
3. 利用极坐标方程作图的命令PolarPlot
如果想利用曲线的极坐标方程作图, 则要先打开作图软件包. 输入
< 执行以后, 可使用PolarPlot命令作图. 其基本格式为 PolarPlot[r[t],{t,min,max},选项] 例如曲线的极坐标方程为r?3cos3t,要作出它的图形. 输入 PolarPlot[3 Cos[3 t], {t,0,2 Pi}] 便得到了一条三叶玫瑰线. 4. 隐函数作图命令ImplicitPlot 这里同样要先打开作图软件包, 输入 < 命令ImplicitPlot的基本格式为 ImplicitPlot[隐函数方程, 自变量的范围, 作图选项] 例如方程(x2?y2)2?x2?y2确定了y是x的隐函数. 为了作出它的图形, 输入 ImplicitPlot[(x^2+y^2)^2==x^2-y^2,{x,-1,1}] 输出图形是一条双纽线. 5. 定义分段函数的命令Which 命令Which的基本格式为 Which[测试条件1, 取值1, 测试条件2, 取值2,?] 例如, 输入 8 w[x_]=Which[x<0,-x,x>=0,x^2] 虽然输出的形式与输入没有改变, 但已经定义好了分段函数: x?0??x,?w(x)??2 ?x,x?0?现在可以对分段函数w(x)求函数值, 也可作出函数w(x)的图形. 实验举例 初等函数的图形 例1.1 作出指数函数y?ex和对数函数y?lnx的图形. 输入命令 Plot[Exp[x],{x,-2,2}] 则输出指数函数y?ex的图形. 7654321-2-11输入命令 Plot[Log[x],{x,0.001,5},PlotRange->{{0,5},{-2.5,2.5}},AspectRatio->1] 则输出对数函数y?lnx的图形. 211234-1-2 注①：PlotRange->{{0,5},{-2.5,2.5}}是显示图形范围的命令. 第一组数{0,5}是描述x的, 第 9 二组数{-2.5,2.5}是描述y的. 注②：有时要使图形的x轴和y轴的长度单位相等, 需要同时使用PlotRange和AspectRatio两个选项. 本例中输出的对数函数的图形的两个坐标轴的长度单位就是相等的. 例1.2 作出函数y?sinx和y?cscx的图形观察其周期性和变化趋势. 为了比较, 我们把它们的图形放在一个坐标系中. 输入命令 Plot[{Sin[x],Csc[x]},{x,-2 Pi,2 Pi},PlotRange->{-2 Pi,2 Pi}, PlotStyle->{GrayLevel[0],GrayLeve1[0.5]}, AspectRatio->1] 642-6-4-224-2-4 注：PlotStyle->{GrayLeve1[0],GrayLeve1[0.5]}是使两条曲线分别具有不同的灰度的命令. 例1.3 作出函数y?tanx和y?cotx的图形观察其周期性和变化趋势. -6输入命令 Plot[{Tan[x],Cot[x]},{x,-2 Pi,2 Pi},PlotRange->{-2 Pi,2 Pi}, PlotStyle->{GrayLeve1[0],GrayLeve1[0.5]},AspectRatio->1] 10 642-6-4-224-2-4-6 例1.4 将函数y?sinx,y?x,y?arcsinx的图形作在同一坐标系内, 观察直接函数和反函数的图形间的关系. 输入命令 p1=Plot[ArcSin[x],{x,-1,1}]; p2=Plot[Sin[x],{x,-Pi/2,Pi/2},PlotStyle->GrayLeve1[0.5]]; px=Plot[x,{x,-Pi/2,Pi/2},PlotStyle->Dashing[{0.01}]]; Show[p1,p2,px,PlotRange->{{-Pi/2,Pi/2},{-Pi/2,Pi/2}},AspectRatio->1] 1.510.5-1.5-1-0.50.51-0.5-1 则可以看到函数和它的反函数在同一个坐标系中的图形是关于直线y?x对称的. 注 Show[?]命令把称为p1,p2和px的三个图形叠加在一起显示. 选项PlotStyle->Dashing[{0.01}]使曲线的线型是虚线. 11 -1.5 例1.5 (教材 例1.1) 给定函数 5?x2?x3?x4 f(x)?5?5x?5x2(a) 画出f(x)在区间[?4,4]上的图形; (b) 画出区间[?4,4]上f(x)与sin(x)f(x)的图形. 输入命令 f[x_]=(5+x^2+x^3+x^4)/(5+5x+5x^2); g1=Plot[f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; 则输出f(x)在区间[?4,4]上的图形. 32.521.510.5输入命令 g2=Plot[Sin[x]f[x],{x,-4,4},PlotStyle->RGBColor[0,1,0]]; Show[g1,g2]; 则输出区间[?4,4]上f(x)与sin(x)f(x)的图形. 321-4-22 -4-2-1-22注: Show[?]命令把称为g1与g2二个图形叠加在一起显示. 例1.6 在区间[?1,1]画出函数y?sin输入命令 Plot[Sin[1/x],{x,-1,1}]; 则输出所求图形，从图中可以看到函数y?sin1在x?0附近来回震荡. x1的图形. x 12