求函数的导数与微分
例3.3 求函数y?xn的一阶导数. 输入
D[x^n,x]
则输出函数y?xn的一阶导数
nx?1?n
注：在求导数时, 已经将指数n看作常数.
?1?例3.4 (教材 例3.2) 求函数f(x)?sinaxcosbx的一阶导数. 并求f???.
a?b??输入
D[Sin[a*x]*Cos[b*x],x]/.x->1/(a+b)
则输出函数在该点的导数
?a??b??a??b? aCo?sCos?bSin??a?b???Sin?a?b? a?ba?b????????
例3.5 (教材 例3.3) 求函数y?x10?2(x?10)9的1阶到11阶导数. 输入
Clear[f];
f[x_]=x^10+2*(x-10)^9; D[f[x],{x,2}]
则输出函数的二阶导数
144(?10?x)7?90x8
类似可求出3阶、4阶导数等等. 为了将1阶到11阶导数一次都求出来, 输入
Do[Print[D[f[x],{x,n}]],{n,1,11}]
则输出
18(?10?x)8?10x9144(?10?x)7?90x81008(?10?x)6?720x7??? 725760?3628800x36288000或输入
Table[D[f[x],{x,n}],{n,11}]
则输出集合形式的1至11阶导数(输出结果略).
例3.6 求函数y?sin2x与y?sinaxcosbx的微分. 输入
Dt[Sin[2*x]]
则输出函数y?sin2x的微分
2 Cos[2x] Dt[x] 38
再输入
Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x],Constants->{a,b}]//Simplify
其中选项Constants->{a,b}指出a,b是常数. 则输出函数y?sinaxcosbx的微分
Dt[x,Constants->{a,b}](a Cos[a x]Cos[b x]-b Sin[a x] Sin[b x])
输出中的Dt[x,Constants->{a,b}]就是自变量的微分dx. 如果输入
Dt[Sin[a*x]*Cos[b*x]]
则将a, b看作变量, 得到的是三元函数的全微分:
Cos[a x] Cos[b x] (x Dt[a]+a Dt[x])+(-x Dt[b]-b Dt[x] Sin[a x] Sin[b x]
3.求隐函数的导数及由参数方程定义的函数的导数 例3.7 (指导书 例3.4) 求由方程2x2?2xy?y2?x?2y?1?0确定的隐函数的导数. 方法1 输入
deq1=D[2 x^2-2 x*y[x]+y[x]^2+x+2 y[x]+1==0,x]
这里输入y[x]以表示y是x的函数. 输出为对原方程两边求导数后的方程deq1:
1+4 x-2 y[x]+2y' [x]-2 xy' [x]+2 y[x]y' [x] == 0
再解方程, 输入
Solve[deq1,y ' [x]]
则输出所求结果
????????y?[x]????1?4x?2y[x]???2(?1?x?y[x])????
?方法2 使用微分命令. 输入
deq2=Dt[2 x^2-2x*y+y^2+x+2y+1==0,x]
得到导数满足的方程deq2:
1+4x-2y+2 Dt[y,x]-2x Dt[y,x]+2y Dt[y,x]= =0
再解方程, 输入
Solve[deq2,Dt[y,x]]
则输出
?????1?4x?2y??????Dt[y,x]????2(?1?x?y)????
?注意前者用y’[x], 而后者用Dt[y,x]表示导数.
如果求二阶导数, 再输入
deq3=D[deq1,x];
Solve[{deq1,deq3},{y' [x],y'' [x]}]//Simplify
则输出结果
?????13?4x?8x2?8(?1?x)y[x]?4y[x]21?4x?2y[x]???y??[x]?????4(?1?x?y[x])3,y?[x]??????2?2x?2y[x]????? ? 例3.8 (教材 例3.5) 求由参数方程x?etcost,y?etsint确定的函数的导数. 输入
D[E^t*Sin[t],t]/D[E^t*Cos[t],t]
则得到导数
39
etCos[t]?etSin[t]
etCos[t]?etSin[t]再输入
D[%,t]/D[E^t*Cos[t],t]//Simplify
则得到二阶导数
2e?t(Cos[t]?Sin[t])3
拉格朗日中值定理
例3.9 (教材 例3.6) 对函数f(x)?x(x?1)(x?2),观察罗尔定理的几何意义. 因为f(0)?f(1)?f(2)?0,由罗尔定理, 存在x1?(0,1), x2?(1,2), 使得 f?(x1)?f?(x2)?0.
(1) 画出y?f(x)与f?(x)的图形, 并求出x1与x2. 输入
f[x_]=x*(x-1)*(x-2);
g1=Plot[f[x],{x,-1,3},PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; g2=Plot[f'[x],{x,-1,3}];Show[g1,g2];NSolve[f'[x]==0,x]
21-1-1-2-312 (2)画出y?f(x)及其在点(x1,f(x1))与(x2,f(x2))处的切线. 输入
t1[x_]=f[0.42265]; t2[x_]=f[1.57735]; Plot[{f[x],t1[x],t2[x]},{x,-1,3}];
1.510.5 -1-0.5-1-1.512 40
例3.10 对函数f(x)?ln(1?x)在区间[0,4]上观察拉格朗日中值定理的几何意义. (1) 画出y?f(x)及其左、右端点连线的图形; 输入命令
Clear[g1,g2]; f[x_]=Log[1+x]; a=0;b=4;
g1[x_]:=f[a]+(f[b]-f[a])*(x-a)/(b-a); g2[x_]:=f ' [x]-(f[b]-f[a])/(b-a); Plot[{f[x],g1[x]},{x,a,b}];
1.51.2510.750.50.25
123 (2)画出函数y?f?(x)?f(4)?f(0)4?0的曲线图, 并求出?使得
f?(?)?f(4)?f(0)4?0.
输入命令
Plot[g2[x],{x,a,b}];
NSolve[f ' [x]==(f[b]-f[a])/(b-a),x];
0.60.40.2123-0.2 (3)画出y?f(x),它在?处的切线及它在左、右端点连线的图形. 输入命令
x1=1.4853397382384472; g3[x_]=f[x1]+f ' [x1]*(x-x1); Plot[{f[x],g1[x],g3[x]},{x,a,b}];
41
1.510.5
例3.11 (指导书 例3.7) 函数f(x)?1/x4在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件, 因此存在??(1,2)使
f?(?)?f(f(2)?f(1))/(2?1).
可以验证这个结论的正确性. 输入
Clear[f];f[x_]:=1/x^4;
Solve[D[f[x],x]==f[2]-f[1],x]//N
输出中有5个解:
{{x->-1.08137-0.785663i},{x->1.33665},{x->0.413048+1.27123i},
{x->0.413048-1.27123i},{x->-1.08137+0.785663i}}
其中的实数解就是满足拉格朗日中值定理的?, 约为1.33665.
实验习题
1. 验证拉格朗日定理对函数y?4x3?5x2?x?2在区间[0,1]上的正确性.
2. 证明:对函数y?px2?qx?r应用拉格朗日中值定理时, 所求得的点?总是位于区间
123 [a,b]的正中间.
3. 求下列函数的导数: (1) y?e(3) y?3x?1x?; (2) y?ln[tan(?)];
24121arctancot2x?lnsinx; (4) y?.
x224. 求下列函数的微分:
(1) y?2; (2) 5. 求下列函数的一、二阶导数: (1) y?ln[f(x)]; (2) 6. 求下列函数的高阶导数:
(1) y?xsinhx,求y(100); (2) 7. 求由下列方程所确定的隐函数y(1) lnx?e42
?yx?1cosxy?ln(x?x2?a2). y?f(ex)?ef(x). y?x2cosx,求y(10); ?y(x)的导数:
y?e; (2) arctan?lnx2?y2.
x