Plot[(E^(1/x)-1)/(E^(1/x)+1),{x,-2,2}]
则分别输出所给函数的图形. 从图可见，x?0是所给函数的跳跃间断点.
10.5-2-11-0.5 -1 10.5-0.6-0.4-0.20.20.4-0.5
-1 例2.21 观察无穷间断. 分别输入
Plot[1/(1-x^2),{x,-3,3}]
则输出所给函数的图形. 从图可见，x?0是所给函数的跳跃间断点.
15105-3-2-112-5-10
-15 例2.22 观察振荡间断. 分别输入
Plot[Cos[1/x],{x,-Pi,Pi}]
则输出所给函数的图形. 从图可见，x?0是所给函数的跳跃间断点. 再输入Limit[Sin[1/x],x->0]
Mathematica4.0输出为Interval[{-1,1}]. 读者可猜测这是什么意思.
33
10.5-1-0.50.51-0.5
-1 例2.23 有界量乘以无穷小. 分别输入
Plot[x*Sin[1/x],{x,-Pi,Pi}] Limit[x*Sin[1/x],x->0]
则分别输出所给函数的的图形和所求极限0. 因为无穷小乘以有界函数得无穷小.
10.80.60.40.2-2-1-0.21
例2.24 (教材 例2.10) 观察无穷间断. 输入
Plot[Tan[x],{x,-2Pi,2Pi}]
则输出函数y?tanx的图形. 从图可见,x?0是所给函数的跳跃间断点.
302010 -6-4-2-10-20-3024
例2.25 (教材 例2.11) 观察振荡间断. 输入
Plot[Sin[1/x],{x,-Pi,Pi}] 1则输出函数sin的图形. 从图可见,x?0是所给函数的跳跃间断点.
x34
10.5-3-2-112-0.5
再输入
-1 Limit[Sin[1/x],x->0]
则输出为Interval[{-1,1}]. 表示函数极限不存在,且在-1与1之间振荡.
实验习题
1111. 设数列xn?3?3???3.计算这个数列的前30项的近似值. 作散点图, 观察点的变
12n化趋势.
提示: 输入
Clear[f];
f[n_]:=Sum[1/j^3,{j,1,n}]; xn=Table[f[n],{n,30}]
1?3??.可以证明:这个数列的极限是3.计算这个数列的前 x?2. 定义数列x0?1,xn??n?1?2?xn?1??30项的近似值. 作散点图, 观察点的变化趋势.
提示: 输入
Clear[f];f[1]=1;
f[n_]:=f[n]=N[(f[n-1]+3/f[n-1])/2,20]; fn=Table[f[n],{n,30}] 注：第二行用递归形成一个关于n的函数f[n], 为了提高计算速度, f[n_]:=f[n]=?将使计算机记住已计算的函数值f[n].
3. 作函数sinx及自复合函数
sin(sin(?(sinx))),sin(sin(?(sinx))),sin(sin(?(sinx))) ???????????????????????????51030提示: Mathematica中的形式分别是
Sin[x],Nest[Sin,x,5],Nest[Sin,x,10],Nest[Sin,x,30])
?(sin3))). 计算这个数列的前30项的近似值. 作的图形. 观察变化趋势. 定义数列xn?sin(sin(?????????n散点图, 观察点的变化趋势.
4. 计算极限
x211??(1)lim?xsin?sinx? (2)limx
x???ex?0?xx?
35
(3)limtanx?sinx (4)limxx 3x?0x??0xlncotx (6)limx2lnx (5)limx??0lnxx??0sinx?xcosx3x3?2x2?5 (8)lim (7)limx?0x??5x3?2x?1x2sinxex?e?x?2x?sinx?1?cosx (10)lim? (9)lim?x?0?x?x?0x?sinx5. 讨论极限limcosnx
n??1提示: 输入
Plot[Evaluate[Table[Cos[x]^n,{n,1,30}]],{x,-3 Pi,3 Pi},PlotRange->{-1.2,1.2}] n观察cosx的图形, 判断cosnx在n趋于无穷时的极限, 并对具体的x值, 用Limit命令验证.
实验3 导数（基础实验）
实验目的 深入理解导数与微分的概念, 导数的几何意义. 掌握用Mathematica求导数与高 阶导数的方法. 深入理解和掌握求隐函数的导数, 以及求由参数方程定义的函数的导数的方法.
基本命令
1.求导数的命令D与求微分的命令Dt
D[f,x]给出f关于x的导数, 而将表达式f中的其它变量看作常量. 因此, 如果f是多元函数, 则给出f关于x的偏导数.
D[f,{x,n}]给出f关于x的n阶导数或者偏导数. D[f,x,y,z,?]给出f关于x,y,z,?的混合偏导数.
Dt[f,x]给出f关于x的全导数, 将表达式f中的其它变量都看作x的函数. Dt[f]给出f的微分. 如果f是多元函数, 则给出f的全微分.
上述命令对表达式为抽象函数的情形也适用, 其结果也是一些抽象符号. 命令D的选项NonConstants->{?}指出{?}内的字母是x的函数. 命令Dt的选项Constants->{?}指出{?}内的字母是常数. 2.循环语句Do 基本格式为
Do[表达式, 循环变量的范围]
表达式中一般有循环变量, 有多种方法说明循环变量的取值范围. 最完整的格式是
Do[表达式, {循环变量名, 最小值, 最大值, 增量}]
当省略增量时, 默认增量为1. 省略最小值时, 默认最小值为1.
例如,输入
Do[Print[Sin[n*x]],{n,1,10}]
则在屏幕上显示Sin[x],Sin[2x],?,Sin[10x] 等10个函数.
实验举例
导数概念与导数的几何意义 36
例3.1 用定义求g(x)?x3?3x2?x?1的导数. 输入
Clear[g];
g[x_]=x^3-3x^2+x+1;
quog=Simplify[(g[x+h]-g[x])/h]
执行以后得到函数的增量与自变量的增量的比 1?h2?3h(?1?x)?6x?3x2
再输入
dg=Limit[quog,h->0] Plot[{g[x],dg},{x,-1.5,3},
PlotStyle->{GrayLeve1[0],Dashing[{0.01}]},PlotRange->{-3,2}]
执行后便得到函数g(x)的导数
1?6x?3x2
并把函数g(x)和它的导数的图形作在同一个坐标系内(图3-1).
21-112-1-2-3图3-1
例3.2 (教材 例3.1) 作函数f(x)?2x3?3x2?12x?7的图形和在x??1处的切线. 输入
Clear[f];
f[x_]=2x^3+3x^2-12x+7;
plotf=Plot[f[x],{x,-4,3},DisplayFunction->Identity];
plot2=Plot[f ' [-1]*(x+1)+f[-1],{x,-4,3}, PlotStyle->GrayLeve1[0.5],
DisplayFunction->Identity];
Show[plotf,plot2,DisplayFunction->$DisplayFunction]
执行后便在同一个坐标系内作出了函数f(x)的图形和它在x??1处的切线.
4020-4-3-2-112-20
37