例2.10 (教材 例2.6) 观察函数f(x)?1sinx当x???时的变化趋势. x2取一个较小的区间[1, 10], 输入命令
f[x_]=Sin[x]/x^2;Plot[f[x],{x,1,20}];
则输出f(x)在这一区间上的图形. 从图中可以看出图形逐渐趋于0. 事实上, 逐次取更 大的区间, 可以更有力地说明当x???时, f(x)?0.
0.040.025-0.02-0.041015
作动画: 分别取区间[10,15],[10,20],?,[10,100]画出函数的图形, 输入以下命令:
i=3;
While[i<=20,Plot[f[x],{x,10,5*i},PlotRange->{{10,100},{-0.008,0.004}}];i++]
则输出17幅图, 点黑右边的线框, 并选择从前向后的播放方式播放这些图形, 可得函数
1f(x)?2sinx当x??时变化趋势的动画, 从而可以更好地理解此时函数的变化趋势.
x
例2.11 考虑函数y?arctanx. 输入
Plot[ArcTan[x],{x,-50,50}]
则输出该函数的图形. 观察当x??时, 函数值的变化趋势.
1.510.5-40-20-0.5-1-1.5204分别输入
Limit[ArcTan[x],x->Infinity,Direction->+1] Limit[ArcTan[x],x->Infinity,Direction->-1]
??输出分别为与?.
22考虑函数y?sgnx.分别输入
Limit[Sign[x],x->0,Direction->+1] 28
Limit[Sign[x],x->0,Direction->-1]
输出分别为-1与1.
两个重要极限
例2.12 考虑第一个重要极限limsinxx?0x.输入
Plot[Sin[x]/x,{x,-Pi,Pi}] 则输出函数sinxx的图形. 观察图中当x?0时, 函数值的变化趋势. 输入
Limit[Sin[x]/x,x->0]
输出为1, 结论与图形一致.
10.80.60.40.2
-3-2-112 例2.13 (教材 例2.7) 研究第二个重要极限lim?1?xx????1?x??.
输入
Limit[(1+1/n)^n,n->Infinity]
输出为e. 再输入
Plot[(1+1/x)^x,{x,1,100}]
x则输出函数???1?1?x??的图形. 观察图中函数的单调性. 理解第二个重要极限xxlim??????1?1?x???e. 2.72.62.52.42.32.22.120406080
29
无穷大
例2.14 (教材 例2.8) 考虑无穷大. 分别输入
Plot[(1+2 x)/(1-x),{x,-3,4}] Plot[x^3-x,{x,-20,20}]
则分别输出两个给定函数的图形. 在第一个函数的图形中,x?1时函数的绝对值无限增大,在第 二个函数的图形中,x??时函数的绝对值在无限增大. 输入
Limit[(1+2x)/(1-x),x->1]
Mathematica输出的是??. 这个结果应该是右极限.
755025-1-25-50-75123 100-20-1010-100-200
例2.15 考虑单侧无穷大. 分别输入
Plot[E^(1/x),{x,-20,20},PlotRange->{-1,4}] Limit[E^(1/x),x->0,Direction->+1] Limit[E^(1/x),x->0,Direction->-1]
4 321-20-10-110 30
则输出所给函数的图形、左极限0和右极限值?. 再输入
Limit[E^(1/x),x->0]
Mathematica的输出仍然为?.这又是右极限（同上例）. 因此在没有指明是左右极限时, 命令Limit给出的是右极限.
例2.16 输入
Plot[x+4*Sin[x],{x,0,20 Pi}]
则输出所给函数的图形. 观察函数值的变化趋势. 当x??时, 这个函数是无穷大. 但是, 它并不是单调增加. 于是, 无穷大并不要求函数单调.
605040302010
例2.17 (教材 例2.9) 输入
Plot[x*Sin[x],{x,0,20 Pi}]
则输出所给函数的图形.
6040201020304050 10-20-4020304050 观察图中函数的变化趋势. 这个函数无界, 但是, 当x??时, 这个函数不是无穷大. 即 趋向于无穷大的函数当然无界, 而无界函数并不一定是无穷大.
连续与间断
例2.18 考察函数f(x)?sinx在x?5处的连续性.
选取几个{xn},考察当xn?5时, sinxn的变化趋势, 依次取
-60111??xn?5?,xn?5?(?1)n,xn?ln?1??,
nn?n?当n??时, 他们的极限均为5.
输入命令
g1 = ListPlot[Table[Sin[5 + 1/n], {n, 1, 1000, 5}],PlotStyle -> RGBColor[1, 0, 0]]; g2 = ListPlot[Table[Sin[5 + (-1)^n/Sqrt[n]], {n, 1, 1000, 5}],
5n31
PlotStyle -> RGBColor[0, 1, 0]];
g3 = ListPlot[Table[Sin[5*n*Log[(1 + 1/n)]], {n, 1, 1000, 5}],
PlotStyle -> RGBColor[0, 0, 1]];
g = Show[g1, g2, g3];
则输出相应的(xn,sinxn)的散点图. 由图可看出它们趋于同一极限值.
-0.92-0.94-0.96-0.98
50100150 例2.19 观察可去间断. 分别输入
Plot[Tan[x]/x,{x,-1,1}]
Plot[(Sin[x]-x)/x^2,{x,-Pi,Pi}]
则输出所给函数的图形. 从图可见，x?0是所给函数的可去间断点.
1.51.41.31.21.1-1-0.5 0.30.20.10.5 -3-2-1-0.1-0.2-0.312
例2.20 观察跳跃间断. 分别输入
Plot[Sign[x],{x,-2,2}] 32