例1.14 分别作出取整函数y?[x]和函数y?x?[x]的图形. 输入命令
Plot[Floor[x],{x,-4,4}]
可以观察到取整函数y?[x]的图形是一条阶梯形曲线.
321-4-2-1-2-32输入命令
Plot[x-Floor[x],{x,-4,4}]
得到函数y?x?[x]的图形, 这是锯齿形曲线（注意: 它是周期为1的周期函数.）
1-4 0.80.60.40.2
-4-22 例1.15 作出符号函数y?sgnx的图形. 输入命令
Plot[Sign[x],{x,-2,2}]
就得到符号函数的图形. 点x?0是它的跳跃间断点.
10.5-2-11-0.5 一般分段函数可以用下面的方法定义. 例如，对本例输入 18
-1 g[x_]: = -1/; x<0; g[x_]: = 0/; x=0; g[x_]: = 1/; x>0; Plot[g[x],{x,-2,2}]
便得到上面符号函数的图形. 其中组合符号“/；”的后面给出前面表达式的适用条件
例1.16 (教材 例1.5) 作出分段函数h(x)????cosx,x?0,??ex,x?0的图形.
输入命令
h[x_]:=Which[x<=0,Cos[x],x>0,Exp[x]] Plot[h[x],{x,-4,4}]
则输出所求图形.
54321-4-22 -1
注:一般分段函数也可在组合符号“/;”的后面来给出前面表达式的适用条件.
? 例1.17 (教材 例1.6) 作出分段函数f(x)???x2sin1,x?0的图形. ?x?0,x?0输入命令
f[x_]:=x^2Sin[1/x]/;x!=0;
f[x_]:=0/; x=0;
Plot[f[x],{x,-1,1}];
则输出所求图形.
0.060.040.02-0.6-0.4-0.20.20.4-0.02-0.04-0.06
19
函数性质的研究
例1.18 研究函数f(x)?x5?3ex?log3(3?x)在区间[?2,2]上图形的特征. 输入命令
Plot[x^5+3E^x+Log[3,3-x],{x,-2,2}];
则输出所求图形. 由图形容易看出, 从左到右, 图形渐渐上升. 因而是增函数.
4020-2-1-201
例1.19 判断函数f(x)?sin2?x?cos2?x是否为周期函数.
任选一个较大的范围, 如取[?4,4], 在此区间上画出函数f(x)的图形如图所示.
Plot[Sin[2Pi x]+Cos[2Pi x],{x,-4,4}];
可以看出函数的图形以某一宽度以单位重复出现.
10.5-4-2-0.5-12
例1.20 判断函数y?f(x)?x3?3x2?3x?1的反函数的存在性. 若存在, 求反函数的表达式, 并画出起图形.
先解方程y?x3?3x2?3x?1, 求x. 输入命令
Solve[y==x^3+3x^2+3x+1,x]; 因此, 所求反函数为y??1?3x. 再输入命令
Plot[-1+x^(1/3),{x,-3,3}];
则输出反函数在区间[?3,3]内的图形.
20
0.40.20.5-0.2-0.4-0.6-0.811.522.5
注：若一个函数满足: 一个y对应着一个x, 则其反函数一定存在,且在表达式中将y换成常量求解x, 即将所的表达式中y换成x, x换成y即得到反函数的表达式.
作函数图形的动画
例1.21 制作函数sincx的图形动画, 观察参数c对函数图形的影响. 输入命令.
Do[Plot[Sin[c x],{x,-Pi,Pi},PlotRange->{-1,1}],{c,1,4,1/3}];
则输出图形动画.
例1.22 (教材 例1.7) 作出函数f(x)?x2?sincx的图形动画,观察参数c对函数图形的影响. 输入命令
Do[Plot[x^2+Sin[c x],{x,-3,3},PlotRange->{-1,5}],{c,1,5,1/3}];
则输出所求动画图形.
实验习题
1. 把正切函数tanx和反正切函数arctanx的图形及其水平渐近线y???/2,y??/2和直线 y?x用不同的线型画在同一个坐标系内.
2. 作出双曲正切函数tanhx的图形. 3. 输入以下命令
Plot[{Sin[x],Sin[2 x],Sin[3 x]},{x,0,2 Pi}, PlotStyle->{RGBColor[1,0,0], RGBColor[0,1,0],RGBColor[0,0,1]}]
理解选项的含义.
4. 为观察复合函数的情况,分别输入以下命令:
Plot[Sqrt[1+x^2],{x,-6,6},PlotStyle->{Dashing[{0.02,0.01}]}] Plot[Sin[Cos[Sin[x]]],{x,-Pi,Pi}]
Plot[Sin[Tan[x]]-Tan[Sin[x]]/x^2,{x,-5,5}] Plot[{E^x,ArcTan[x],E^ArcTan[x]},{x,-5,5}]
5. 观察函数的叠加, 输入以下命令:
21
a1=Plot[x,{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[0,1,0]}]
a2=Plot[2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,1,0]}] a3=Plot[x+2 Sin[x],{x,-5,5},PlotStyle->{RGBColor[1,0,0]}] Show[a1,a2,a3]
6. 分别用ParametricPlot和PolarPlot两种命令, 作出五叶玫瑰线r?4sin5?的图形. 7. 用ImplicitPlot命令作出椭圆x2?y2?xy?3的图形.
8. 选择以下命令的一部分输入, 欣赏和研究极坐标作图命令输出的图形.
PolarPlot[Cos[t/2],{t,0,4 Pi}] PolarPlot[1-2 Sin[5 t],{t,0,2 Pi}] PolarPlot[Cos[t/4],{t,0,8 Pi}] PolarPlot[t*Cos[t],{t,0,8,Pi}] PolarPlot[t^(-3/2),{t,0,8 Pi}] PolarPlot[2 Cos[3 t],{t,0,Pi}] PolarPlot[1-2 Sin[t],{t,0,2 PI}] PolarPlot[4-3 Cos[t],{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Sin[3 t]+Sin[2 t]^2,{t,0,2 Pi}] PolarPlot[3 Sin[2 t],{t,0,2 Pi}] PolarPlot[4 Sin[4 t],{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi}] PolarPlot[Cos[2 t]+Cos[3 t]^2,{t,0,2 Pi}]
PolarPlot[Cos[4 t]+Cos[4 t]^2,{t,0,2 Pi},PlotRange->All]
实验2 极限与连续（基础实验）
实验目的 通过计算与作图, 从直观上揭示极限的本质,加深对极限概念的理解. 掌握用 Mathematica画散点图, 以及计算极限的方法. 深入理解函数连续的概念,熟悉几种间断点的图形 特征,理解闭区间上连续函数的几个重要性质.
基本命令
1.画散点图的命令ListPlot:
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},?{xn,yn}},选项]
或者
ListPlot[{y1,y2,?yn},选项]
前一形式的命令,在坐标平面上绘制点列(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)的散点图;后一形式的命令, 默认自变量xi依次取正整数1,2,?,n,作出点列为(1,y1),(2,y2),?,(n,yn)的散点图. 命令ListPlot的选项主要有两个:
(1) PlotJoined->True, 要求用折线将散点连接起来; (2) PlotStyle->PointSize[0.02], 表示散点的大小. 2.产生集合或者数表的命令Table:
命令Table产生一个数表或者一个集合. 例如, 输入
Table[j^2,{j,1,6}]
则产生前6个正整数的平方组成的数表
{1,4,9,16,25,36}.
3.连加求和的命令Sum:
命令Sum大致相当于求和的数学符号∑. 例如, 输入
Sum[1/i,{i,100}]//N 22