第35讲 曲线方程及圆锥曲线的综合问题
一．【课标要求】
1．由方程研究曲线，特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决，要加强等价转化思想的训练；
2．通过圆锥曲线与方程的学习，进一步体会数形结合的思想； 3．了解圆锥曲线的简单应用 二．【命题走向】
近年来圆锥曲线在高考中比较稳定，解答题往往以中档题或以押轴题形式出现，主要考察学生逻辑推理能力、运算能力，考察学生综合运用数学知识解决问题的能力。但圆锥曲线在新课标中化归到选学内容，要求有所降低，估计2007年高考对本讲的考察，仍将以以下三类题型为主
1．求曲线（或轨迹）的方程，对于这类问题，高考常常不给出图形或不给出坐标系，以考察学生理解解析几何问题的基本思想方法和能力；
2．与圆锥曲线有关的最值问题、参数范围问题，这类问题的综合型较大，解题中需要根据具体问题、灵活运用解析几何、平面几何、函数、不等式、三角知识，正确的构造不等式或方程，体现了解析几何与其他数学知识的联系。
预测明年高考：
1．出现1道复合其它知识的圆锥曲线综合题；
2．可能出现1道考查求轨迹的选择题或填空题，也可能出现在解答题中间的小问
三．【要点精讲】
1．曲线方程
（1）求曲线(图形)方程的方法及其具体步骤如下： 步 骤 含 义 说 明 1
1、“建”：建立建立适当的直角坐标(1) 所研究的问题已给出坐标系，即可坐标系；“设”：系，用(x,y)表示曲线设动点坐标。 直接设点。 上任意一点M的坐(2) 没有给出坐标系，首先要选取适当标。 的坐标系。 2、现(限)：由限制写出适合条件P的点这是求曲线方程的重要一步，应仔细分条件，列出几何等M式。 的集合析题意，使写出的条件简明正确。 P={M|P(M)} 3、“代”：代换 用坐标法表示条件常常用到一些公式。 P(M)，列出方程f(x,y)=0 4、“化”：化简 化方程f(x,y)=0为最要注意同解变形。 简形式。 5、证明 证明化简以后的方程化简的过程若是方程的同解变形，可以的解为坐标的点都是不要证明，变形过程中产生不增根或失曲线上的点。 根，应在所得方程中删去或补上(即要注意方程变量的取值范围)。 这五个步骤(不包括证明)可浓缩为五字“口诀”：建设现(限)代化” （2）求曲线方程的常见方法：
直接法：也叫“五步法”，即按照求曲线方程的五个步骤来求解。这是求曲线方程的基本方法。
转移代入法：这个方法又叫相关点法或坐标代换法。即利用动点是定曲线上的动点，另一动点依赖于它，那么可寻求它们坐标之间的关系，然后代入定曲线
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的方程进行求解。
几何法：就是根据图形的几何性质而得到轨迹方程的方法
参数法：根据题中给定的轨迹条件，用一个参数来分别动点的坐标，间接地把坐标x,y联系起来，得到用参数表示的方程。如果消去参数，就可以得到轨迹的普通方程。
2．圆锥曲线综合问题
（1）圆锥曲线中的最值问题、范围问题
通常有两类：一类是有关长度和面积的最值问题；一类是圆锥曲线中有关的几何元素的最值问题。这些问题往往通过定义，结合几何知识，建立目标函数，利用函数的性质或不等式知识，以及观形、设参、转化、替换等途径来解决。解题时要注意函数思想的运用，要注意观察、分析图形的特征，将形和数结合起来。
圆锥曲线的弦长求法：
设圆锥曲线C∶f(x，y)=0与直线l∶y=kx+b相交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，则弦长|AB|为：
若弦AB过圆锥曲线的焦点F，则可用焦半径求弦长，|AB|=|AF|+|BF|． 在解析几何中求最值，关键是建立所求量关于自变量的函数关系，再利用代数方法求出相应的最值．注意点是要考虑曲线上点坐标(x，y)的取值范围
（2）对称、存在性问题，与圆锥曲线有关的证明问题
它涉及到线段相等、角相等、直线平行、垂直的证明方法，以及定点、定值问题的判断方法。
（3）实际应用题
数学应用题是高考中必考的题型，随着高考改革的深入，同时课本上也出现了许多与圆锥曲线相关的实际应用问题，如桥梁的设计、探照灯反光镜的设计、声音探测，以及行星、人造卫星、彗星运行轨道的计算等
涉及与圆锥曲线有关的应用问题的解决关键是建立坐标系，合理选择曲线模
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型，然后转化为相应的数学问题作出定量或定性分析与判断，解题的一般思想是：
实际问题 建立坐标系 转化成数学问题 数学模型方程 模型的解 翻译回去 讨论方程的解 （4）知识交汇题 部分有较强区分度的综合题 四．【典例解析】 题型1：求轨迹方程
圆锥曲线经常和数列、三角、平面向量、不等式、推理知识结合到一块出现
例1．（1）一动圆与圆x2?y2?6x?5?0外切，同时与圆x2?y2?6x?91?0内切，求动圆圆心M的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线。
x2（2）双曲线?y2?1有动点P，F1,F2是曲线的两个焦点，求?PF1F2的重心
9M的轨迹方程。
解析：（1）（法一）设动圆圆心为M(x,y)，半径为R，设已知圆的圆心分别为O1、O2，
将圆方程分别配方得：(x?3)2?y2?4，(x?3)2?y2?100， 当?M与?O1相切时，有|O1M|?R?2 ①
当?M与?O2相切时，有
|O2M|?10?R ②
y
P
O1
O2
将①②两式的两边分别相加，得
|O1M|?|O2M|?12，
x
即③
(x?3)2?y2?(x?3)2?y2?12
移项再两边分别平方得：
2(x?3)2?y2?12?x ④
两边再平方得：3x2?4y2?108?0，
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x2y2整理得??1，
3627x2y2所以，动圆圆心的轨迹方程是??1，轨迹是椭圆
3627（法二）由解法一可得方程(x?3)2?y2?(x?3)2?y2?12，
由以上方程知，动圆圆心M(x,y)到点O1(?3,0)和O2(3,0)的距离和是常数12，所以点M的轨迹是焦点为O1(?3,0)、O2(3,0)，长轴长等于12的椭圆，并且椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，
∴2c?6，2a?12，∴c?3，a?6， ∴b2?36?9?27，
x2y2?1。 ∴圆心轨迹方程为?3627（2）如图，设P,M点坐标各为P(x1,y1),M(x,y)，∴在已知双曲线方程中
a?3,b?1，∴c?9?1?10 ∴已知双曲线两焦点为F1(?10,0),F2(10,0)， ∵?PF1F2存在，∴y1?0
?x1?(?10)?10x???x1?3x?3由三角形重心坐标公式有?，即? 。
?y1?3y?y?y1?0?0?3?∵y1?0，∴y?0。
已知点P在双曲线上，将上面结果代入已知曲线方程，有
(3x)2?(3y)2?1(y?0) 9即所求重心M的轨迹方程为：x2?9y2?1(y?0)。
点评：定义法求轨迹方程的一般方法、步骤；“转移法”求轨迹方程的方法 例2．(年广东卷文)（本小题满分14分）
已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为
F2,椭圆
3,两个焦点分别为F1和2G上一点到F1和F2的距离之和为
12.圆
Ck:x2?y2?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak.
(1)求椭圆G的方程
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