x1?x2?x???2 ??y?y1?y2??2?y12?2px1,y22?2px2(p?0)
y12y22 ?x1x2?4p2又因x1?x2?y1?y2?0
?x1?x2??y1?y2
y12y22??y1?y2? 24p?x1?x2?0,?y1?y2?0 ?y1?y2??4p2
x?x1?x2yy11?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12 24p4p4p?12(y?2p2) p所以圆心的轨迹方程为y2?px?2p2 设直线x-2y+m=0到直线x-2y=0的距离为m??2
25,则 5因为x-2y+2=0与y2?px?2p2无公共点,
所以当x-2y-2=0与y2?px?2p2仅有一个公共点时,该点到直线x-2y=0的距离最小值为25 5?x?2y?2?0?(2) ?22?y?px?2p?(3)将(2)代入(3)得y2?2py?2p2?2p?0
21
???4p2?4(2p2?2p)?0
?p?0?p?2.
解法3: 设圆C的圆心为C(x,y),则
x1?x2?x???2 ??y?y1?y2??2圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
x1?x2?(y1?y2)|2 d?5|?y12?2px1,y22?2px2(p?0)
y12y22?x1x2?
4p2又因x1?x2?y1?y2?0
?x1?x2??y1?y2
y12y22??y1?y2?
4p2?x1?x2?0,?y1?y2?0 ?y1?y2??4p2
1(y12?y22)?(y1?y2)||y12?y22?2y1y2?4p(y1?y2)?8p2|4p?d?? 545p|?(y1?y2?2p)2?4p245p
p25p?,由题设得 555当y1?y2?2p时,d有最小值 22
?p?2.
点评：本小题考查了平面向量的基本运算,圆与抛物线的方程.点到直线的距离公式等基础知识,以及综合运用解析几何知识解决问题的能力 例8．（陕西卷文）（本小题满分12分）
y2x25已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的
2ab距离为
25。 5（1）求双曲线C的方程；
(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别
????????1位于第一、二象限，若AP??PB,??[,2]，求?AOB面
3积的取值范围。
方法一 解（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线ax?by?0的距离为所以aba2?b225， 5?25ab25?所以
5c5?ab25??5?c?a?2??5?c由??得?b?1
2?a?c?5222??c?a?b???y2所以曲线C的方程是?x2?1
4（Ⅱ）由（Ⅰ）知双曲线C的两条渐近线方程为y??2x 设A(m,2m),B（?n,2n),m?0,n?0
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uuuruurm-?n2(m+?n)由AP??PB得P点的坐标为（,),
1+?1+?y2(1??)22?x?1,化简得mn=将P点的坐标代入44?
?14因为?AOB?2?,tan(??)?2,tan??,sin2??
225又OA?5m,OB?5n
111OA?OB?sin2??2mn?(??)?1 22?111记S(?)?(??)?1,??[,2]
2?311则S?(?)?(1?2)
2?所以S?AOB?由S?(?)?0得??1
189又S（1）=2，S()?,S(2)?
33418当??1时，?AOB面积取到最小值2，当当??时，?AOB面积取到最大值
338所以?AOB面积范围是[2,]
3方法二（Ⅰ）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线ax?by?0的距离为aba2?b225ab25即? 5c525， 5???ab25??5?c?a?2??5?c由??得?b?1
2?a?c?5222??c?a?b???y2所以曲线C的方程是?x2?1.
4（Ⅱ）设直线AB的方程为y?kx?m, 由题意知k?2,m?0
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?y?kx?mm2m得A点的坐标为（,), 由?2?k2?k?y?2x?y?kx?m?m2m得B点的坐标为（,), 由?y??2x2?k2?k?uuuruurm1?2m1?AP??PB,得P点的坐标为（(?),(?)
1??2?k2?k1??2?k2?ky24m2(1??)22将P点的坐标代入?x?1得 ?44?k2?设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）
S?AOB=S?AOQ?S?BOQ .
111OQgxA?OQgxB?m(xA?xB)2221mm14m2?m(?)?g 22?k2?k24?k211?(??)?12??
（宁夏海南卷文）(本小题满分12分)
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个项点到两个 焦点的距离分别是7和1 （1）求椭圆C的方程‘
（2）若P为椭圆C的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，
OPOM?e（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 解（1）设椭圆长半轴长及分别为a,c,由已知得 {
a?c?1,a?c?7. 解得a=4,c=3,
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