设Ｅ（xE，yE），Ｆ（xF，yF）．因为点Ａ（1，
3）在椭圆上， 234(?k)2?12所以xE?2， 23?4k3yE?kxE??k。
2又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以?k代k，可得
34(?k)2?12， xF?23?4k23yF??kxF??k。
2所以直线EF的斜率kEF?yF?yE?k(xF?xE)?2k1??。
xF?xExF?xE2即直线EF的斜率为定值，其值为
1。 2（2）（福建卷文）（本小题满分14分）
x2y2已知直线x?2y?2?0经过椭圆C:2?2?1(a?b?0) 的左顶点A和上顶
ab点D，椭圆C的右顶点为B，点S和椭圆C上位于x轴上方的动点，直线，AS,BS与直线l:x?10 3分别交于M,N两点 （I）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求线段MN的长度的最小值；
（Ⅲ）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得?TSB的
1面积为？若存在，确定点T的个数，若不存在，说明理由
5
16
解 方法一（I）由已知得，椭圆C的左顶点为A(?2,0),上顶点为D(0,1),?a?2,b?1
x2 故椭圆C的方程为?y2?1
4（Ⅱ）直线AS的斜率k显然存在，且k?0，故可设直线AS的方程为y?k(x?2)，
1016k从而M(,)
33?y?k(x?2)?2222(1?4k)x?16kx?16k?4?0 由?x2得2??y?1?416k2?42?8k24k设S(x1,y1),则(?2),x1?得，从而 x?y?111?4k21?4k21?4k22?8k24k即S(,),又B(2,0) 221?4k1?4k110??y??(x?2)x?????4k3由?得?
101?x??y????33k??101?N(,?)
33k故|MN|?16k1? 33k16k116k18??2?? 33k33k3又k?0,?|MN|?当且仅当
16k11，即k?时等号成立 ?33k4 17
?k?18时，线段MN的长度取最小值 431 4（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，当MN取最小值时，k?6442 此时BS的方程为x?y?2?0,s(,),?|BS|?
5551 要使椭圆C上存在点T，使得?TSB的面积等于，只须T到直线BS的距离等于
522，所以T在平行于BS且与BS距离等于的直线l上。 44设直线l':x?y?1?0 则由|t?2|235?,解得t??或t?? 4222
题型4：知识交汇题
例7．已知点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2?0)是抛物线y2?2px(p?0)上的两个动
????????????????????????点,O是坐标原点,向量OA,OB满足OA?OB?OA?OB.设圆C的方程为
x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0
(I) 证明线段AB是圆C的直径;
25时，求p的值 5????????????????????????2????????2?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB) 解析：(I)证明1:
(II)当圆C的圆心到直线X-2Y=0的距离的最小值为
????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB
????????整理得: OA?OB?0 ?x1?x2?y1?y2?0
????????设M(x,y)是以线段AB为直径的圆上的任意一点,则MA?MB?0
即(x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0
18
整理得:x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0 故线段AB是圆C的直径
????????????????????????2????????2证明2: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)
????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB
????????整理得: OA?OB?0 ?x1?x2?y1?y2?0……..(1)
设(x,y)是以线段AB为直径的圆上则 即
y?y2y?y1???1(x?x1,x?x2) x?x2x?x1去分母得: (x?x1)(x?x2)?(y?y1)(y?y2)?0
点(x1,y1),(x1,y2),(x2,y1)(x2,y2)满足上方程,展开并将(1)代入得:
x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0
故线段AB是圆C的直径
????????????????????????2????????2证明3: ?OA?OB?OA?OB,?(OA?OB)?(OA?OB)
????2????????????2????2????????????2OA?2OA?OB?OB?OA?2OA?OB?OB
????????整理得: OA?OB?0 ?x1?x2?y1?y2?0……(1)
以线段AB为直径的圆的方程为
(x?x1?x22y?y1)?(y?12)2?[(x1?x2)2?(y1?y2)2] 224展开并将(1)代入得:
x2?y2?(x1?x2)x?(y1?y2)y?0
故线段AB是圆C的直径
(II)解法1:设圆C的圆心为C(x,y),则
19
x1?x2?x???2 ??y?y1?y2??2?y12?2px1,y22?2px2(p?0)
y12y22 ?x1x2?4p2又因x1?x2?y1?y2?0
?x1?x2??y1?y2
y12y22??y1?y2? 24p?x1?x2?0,?y1?y2?0 ?y1?y2??4p2
x?x1?x2yy11?(y12?y22)?(y12?y22?2y1y2)?12 24p4p4p?12(y?2p2) p所以圆心的轨迹方程为y2?px?2p2 设圆心C到直线x-2y=0的距离为d,则
12(y?2p2)?2y||x?2y||y2?2py?2p2|pd???
555p||(y?p)2?p2|? 5p当y=p时,d有最小值?p?2.
p25p?,由题设得 555解法2: 设圆C的圆心为C(x,y),则
20