(?225,?5)也满足OA?OB. 554，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两5综上, 存在圆心在原点的圆x2?y2?????????个交点A,B,且OA?OB.
x21(3)当m?时,轨迹E的方程为?y2?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线l与
44圆C:x2?y2?R2(1 因为l与轨迹E只有一个公共点B1, ?y?kx?t?22x?4(kx?t)?4, 由（2）知?x2得2??y?1?4t1?k2, 即t2?R2(1?k2) 即(1?4k2)x2?8ktx?4t2?4?0有唯一解 则△=64k2t2?16(1?4k2)(t2?1)?16(4k2?t2?1)?0, 即4k2?t2?1?0, ② ?23R2t???4?R2由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2?k2?R?1??4?R28kt?x?x??12?4t2?416R2?16?1?4k22?由? 中x1?x2,所以,x1?, 2221?4k3R?xx?4t?412?1?4k2?124?R24222B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y?1?x1?,所以, |OB|?x?y?5?11143R2R221在直角三角形OA1B1中,|A1B1|2?|OB1|2?|OA1|2?5?4422?R?5?(?R)因为22RR4?R2?4当且仅当R?2?(1,2)时取等号,所以|A1B1|2?5?4?1,即 2R当R?2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置 11 关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 题型3：证明问题和对称问题 x2y2例5．（1）如图，椭圆2?＝1（a＞b＞0）与 ab过点A（2，0）B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e= 3. 2(Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)设F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF1的中点，求证：∠ATM=∠AF1T。 解 (1)由题意： ?c2?2?x2y2?2122 ?2?2?1 ，解得a?4,b?2，所求椭圆方程为 ??1 42?ab222?c?a?b? （2）（天津卷文）（本小题满分14分） x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，过点 aba2E(,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B| c（Ⅰ求椭圆的离心率； （Ⅱ）直线AB的斜率； 12 （Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m?0)在 ?AF1C的外接圆上，求 n的值。 m|EF2||F2B|1??,从而 |EF1||F1A|2解 （1）由F1A//F2B,|F1A|?|F2B|，得 a2?cc3122c，整理得，故离心率 e??a?3c?2a32a?cc（2）由（1）知，b2?a2?c2?2c2，所以椭圆的方程可以写为2x2?3y2?6c2 a2设直线AB的方程为y?k(x?)即y?k(x?3c) c?y?k(x?3c)由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组?2 22?2x?3y?6c消去y整理，得(2?3k2)x2?18k2cx?27k2c2?6c2?0 依题意，??48c2(1?3k2)?0,?33?k? 3318k227k2c2?6c2,x1x2?而x1?x2?，有题设知，点B为线段AE的中点， 222?3k2?3k所以x1?3c?2x2 9k2c?2c9k2c2?2c2,x2?联立三式，解得x1?，将结果代入韦达定理中解得222?3k2?3kk??2 3. 23c，当k??时，得A(0,2c)由已知得C(0,?2c) 322c2cc??(x?),直线l与x轴的交点(,0)2222(3)由（2）知，x1?0,x2?线段AF1的垂直平分线l的方程为y?cc是?AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为(x?)2?y2?(?c)2 22 13 ?c29c22?(m?)?n?直线F2B的方程为y?2(x?c)，于是点H(m,n)满足方程组?24?n?2(m?c)? 由m?0，解得m?当k? 、 5c22cn22,n?，故? 32m52n22时，同理可得? 3m5. 点评：本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力。 （3）在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y2＝2x相交于A、B两点 ①求证：“如果直线l过点T（3，0），那么OA?OB＝3”是真命题； ②写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 解析： （3）证明：①设过点T(3,0)的直线l交抛物线y2=2x于点A(x1,y1)、B(x12,y2). 当直线l的钭率下存在时,直线l的方程为x=3,此时,直线l与抛物线相交于A(3,6)、B(3,－6)，∴OA?OB=3。 当直线l的钭率存在时,设直线l的方程为y=k(x－3),其中k≠0. y2=2x 当 y=k(x－3) 得ky2－2y－6k=0,则y1y2=－6. ?????? 14 又∵x1= 121y1, x2=y22, 221∴OA?OB=x1x2+y1y2=(y1y2)2?y1y2=3. 4综上所述, 命题“如果直线l过点T(3,0),那么OA?OB=3”是真命题. ②逆命题是：设直线l交抛物线y2=2x于A、B两点,如果OA?OB=3,那么该直线过点T(3,0).该命题是假命题. 例如：取抛物线上的点A(2,2),B(直线AB的方程为Y= 1,1),此时OA?OB=3, 22(X+1),而T(3,0)不在直线AB上. 3点评：由抛物线y2=2x上的点A(x1,y1)、B(x12,y2)满足OA?OB=3,可得y1y2=－6。或y1y2=2，如果y1y2=－6，可证得直线AB过点(3,0)；如果y1y2=2, 可证得直线AB过点(－1,0),而不过点(3,0)。 例6．（1）（辽宁卷文、理）（本小题满分12分） 已知，椭圆C以过点A（1，（1） 求椭圆C的方程； （2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数， 证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。 x2y2?2?1。 （Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为21?b4b3），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2因为A在椭圆上，所以 19322，解得＝3，＝（舍去）。 bb??1?1?b24b24x2y2??1． 所以椭圆方程为 43x2y23?1得 （Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得y?k(x?1)?，代入?4323（3+4k2）x2+4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0 2 15