4km?x?x??12??1?2k2因为?, 2?xx?2m?8?121?2k2?4km22m2?88(8k2?m2?4)所以(x1?x2)?(x1?x2)?4x1x2?(?, )?4??1?2k21?2k2(1?2k2)222|AB|?(x1?x2)??y1?y2?228(8k2?m2?4) ?(1?k)(x1?x2)?(1?k)(1?2k2)2222324k4?5k2?132k2???[1?4],
34k4?4k2?134k?4k2?1①当k?0时|AB|?321[1?] 134k2?2?4k因为4k?21?4?8所以0?k211?, 14k2?2?48k所以
32321?[1?]?12,
13324k?2?4k426?|AB|?23当且仅当k??时取”=”. 32所以② 当k?0时,|AB|?46. 326262626,?)或(?,?), 3333③ 当AB的斜率不存在时, 两个交点为(所以此时|AB|?46, 3446?|AB|?23即: |AB|?[6,23] 33综上, |AB |的取值范围为【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆
的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系. 47. (2009山东卷文)（本小题满分14分）
????设m?R,在平面直角坐标系中,已知向量a?(mx,y?1),向量b?(x,y?1),a?b,动点
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M(x,y)的轨迹为E.
（1）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
（2）已知m?1,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交4点A,B,且OA?OB(O为坐标原点),并求出该圆的方程; (3)已知m?1,设直线l与圆C:x2?y2?R2(1 ????解（1）因为a?b,a?(mx,y?1),b?(x,y?1), ??所以a?b?mx2?y2?1?0, 即mx2?y2?1. 当m=0时,方程表示两直线,方程为y??1; 当m?1时, 方程表示的是圆 当m?0且m?1时,方程表示的是椭圆; 当m?0时,方程表示的是双曲线. 1x2?y2?1,设圆心在原点的圆的一条切线为y?kx?t,解(2).当m?时, 轨迹E的方程为 44?y?kx?t?22222方程组?x2得,即x?4(kx?t)?4(1?4k)x?8ktx?4t?4?0, 2??y?1?4要使切线与轨迹E恒有两个交点A,B, 则使△=64kt?16(1?4k)(t?1)?16(4k?t?1)?0, 2222228kt?x?x??12??1?4k22222即4k?t?1?0,即t?4k?1, 且? 24t?4?xx?12?1?4k2?k2(4t2?4)8k2t2t2?4k22, y1y2?(kx1?t)(kx2?t)?kx1x2?kt(x1?x2)?t???t?2221?4k1?4k1?4k22????????4t2?4t2?4k25t2?4k2?4???0, 要使OA?OB, 需使x1x2?y1y2?0,即2221?4k1?4k1?4k所以5t?4k?4?0, 即5t?4k?4且t?4k?1, 即4k?4?20k?5恒成立. 2222222285 所以又因为直线y?kx?t为圆心在原点的圆的一条切线, 42(1?k)2t4t42225x?y?所以圆的半径为r?,r?, 所求的圆为. ??22251?k1?k51?k222x25,与5)或?y2?1交于点(5,?当切线的斜率不存在时,切线为x??5554(?225,?5)也满足OA?OB. 5522综上, 存在圆心在原点的圆x?y?4，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点5????????A,B,且OA?OB. 1x2?y2?1,设直线l的方程为y?kx?t,因为直线l与圆(3)当m?时,轨迹E的方程为 44C:x2?y2?R2(1 t1?k2, 即t2?R2(1?k2) ①, ?y?kx?t?22由（2）知?x2得x?4(kx?t)?4, 2??y?1?4即(1?4k)x?8ktx?4t?4?0有唯一解 222222则△=64kt?16(1?4k)(t?1)?16(4k?t?1)?0, 即4k?t?1?0, ② 22222?23R2t???4?R2由①②得?, 此时A,B重合为B1(x1,y1)点, 2?k2?R?1??4?R28kt?x?x??12?4t2?416R2?16?1?4k22?由? 中x1?x2,所以,x1?, 2221?4k3R?xx?4t?412?1?4k2?4124?R2222|OB|?x?y?5?B1(x1,y1)点在椭圆上,所以y?1?x1?,所以, 111R243R22185 在直角三角形OA1B1中,|A1B1|?|OB1|?|OA1|?5?222442?R?5?(?R2)因为22RR422?R?4当且仅当时取等号,所以R?2?(1,2)|AB|11?5?4?1,即 2R当R?2?(1,2)时|A1B1|取得最大值,最大值为1. 【命题立意】:本题主要考查了直线与圆的方程和位置关系,以及直线与椭圆的位置关系,可以通过解方程组法研究有没有交点问题,有几个交点的问题. 48.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分） 3x2y2??1(a?b?0)已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B a2b2 3 2两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 22 2（Ⅰ）求a,b的值； （Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有 OP ? OA ? 成立？ OB若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。 解（Ⅰ）设F?c,0?, 当l的斜率为1时，其方程为x?y?c?0,O到l的距离为 ??? 0?0?c2?c2， 故 c2?2， c?1 2 由 e?c3?，得 a?3，b?a2?c2=2 a3（Ⅱ）C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP?OA?OB成立。 由 （Ⅰ）知C的方程为2x+3y=6. 设A(x1,y1),B(x2,y2). (ⅰ) 当l不垂直x轴时，设l的方程为y?k(x?1) C 上的点P使OP?OA?OB成立的充要条件是P点的坐标为（， x1?x2,y1?y2）且2(x1?x2)?3(y1?y2)?6 整理得 2x1?3y1?2x2?3y2?4x1x2?6y1y2?6 22222222又A、B在C上，即2x1?3y122?6,2x2?3y2?6 2285 故 2x1x2?3y1y2?3?0 ① 将 y?k(x?1)代入2x2?3y2?6,并化简得 (2?3k2)x2?6k2x?3k2?6?0 6k23k2?6于是 x1?x2?, x1x2=, 222?3k2?3k?4k2 y1y2?k(x1?1)(x2?2)? 2?3k222代入①解得，k?2，此时x1?x2?3 2于是y1?y2?k(x1?x2?2)=? 因此， 当k??2时，P(,k3k， 即P(,?) 222322)， l的方程为2x?y?2?0； 2 当k?322时，P(,?)， l的方程为2x?y?2?0。 22（ⅱ）当l垂直于x轴时，由OA?OB?(2,0)知，C上不存在点P使OP?OA?OB成立。 综上，C上存在点P(,?322)使OP?OA?OB成立， 2此时l的方程为2x?y?2?0. 49.（2009广东卷理）（本小题满分14分） 已知曲线C:y?x与直线l:x?y?2?0交于两点A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xA?xB．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点 2P(s,t)是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合． （1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程； 51?0与D有公共点，试求a的最小值． 25152解（1）联立y?x与y?x?2得xA??1,xB?2，则AB中点Q(,)， 22（2）若曲线G:x?2ax?y?4y?a?22285