15?s?t1522设线段PQ的中点M坐标为(x,y)，则x?，即s?2x?,t?2y?，,y?2222又点P在曲线C上，
5111?(2x?)2化简可得y?x2?x?，又点P是L上的任一点， 228115且不与点A和点B重合，则?1?2x??2，即??x?，
24411152∴中点M的轨迹方程为y?x?x?（??x?）.
844y∴2y?xB xA D ox
2（2）曲线G:x?2ax?y?4y?a?即圆E：(x?a)?(y?2)?222251?0， 25497，其圆心坐标为E(a,2)，半径r? 25551222?0与点D有公共点； 由图可知，当0?a?2时，曲线G:x?2ax?y?4y?a?2551222?0与点D有公共点，当a?0时，要使曲线G:x?2ax?y?4y?a?只需圆心E到25直线l:x?y?2?0的距离d?|a?2?2|2?|a|2?772，得??a?0，则a的最小值55为?72. 550.（2009安徽卷理）（本小题满分13分）
?x2y2点P(x0,y0)在椭圆2?2?1(a?b?0)上，x0?acos?,y0?bsin?,0???.直线
2abl2与直线l1:为?.
x0y0x?y?1垂直，O为坐标原点，直线OP的倾斜角为?，直线l2的倾斜角22abx2y2（I）证明: 点P是椭圆2?2?1与直线l1的唯一交点；
ab（II）证明:tan?,tan?,tan?构成等比数列.
85
解析：本小题主要考查直线和椭圆的标准方程和参数方程，直线和曲线的几何性质，等比数列等基础知识。考查综合运用知识分析问题、解决问题的能力。本小题满分13分。
x0y0x2y2b22证明 （I）（方法一）由2x?2y?1得y?2(a?x0x),代入椭圆2?2?1,
ababay01b2x0222b2x0b2得(2?42)x?2x?(2?1)?0.
aay0ay0y0将??x0?acos?代入上式,得x2?2acos??x?a2cos2??0,从而x?acos?.
?y0?bsin??x2y2??1??x?x0?a2b2因此,方程组?有唯一解?,即直线l1与椭圆有唯一交点P.
y?yxy0??0x?0y?1?b2?a2(方法二)显然P是椭圆与l1的交点，若Q(acos?1,bsin?1),0??1?2?是椭圆与l1的交点，代入l1的方程
cos?sin?x?y?1，得cos?cos?1?sin?sin?1?1, ab即cos(???1)?1,???1,故P与Q重合。
b2b2x2y2a?x2,y0?a?x02, （方法三）在第一象限内，由2?2?1可得y?aaab椭圆在点P处的切线斜率k?y?(x0)??bx0aa2?x02b2x0??2,
ay0xxyyb2x0切线方程为y??2(x?x0)?y0,即02?02?1。
abay0因此，l1就是椭圆在点P处的切线。
根据椭圆切线的性质，P是椭圆与直线l1的唯一交点。
y0bx0b2y0a2a（II）tan???tan?,l1的斜率为?,l2的斜率为tan???tan?, 22x0ay0ax0bb由此得tan?tan??tan2??0,tan?,tan?,tan?构成等比数列。
51.（2009江西卷文）（本小题满分14分）
x2?y2?1的内接△ABC的内切圆, 其中A为如图，已知圆G:(x?2)?y?r是椭圆16y222M85 BFA0 x椭圆的左顶点.
（1）求圆G的半径r;
（2）过点M(0,1)作圆G的两条切线交椭圆于E，F两点，
证明：直线EF与圆G相切．
（1）解 设B（2?r,y0），过圆心G作GD?AB于D,BC交长轴于H 由
GDHBryAD?AH得36?r2?06?r, 即 y6?r0?r 6?r (1) 而点B（2?r,y）在椭圆上,y2(2?r)212?4r?r2(r00?1?16?16???2)(r?6)16 由(1)、 (2)式得15r2?8r?12?0,解得r?23或r??65（舍去） (2) 证明设过点M(0,1)与圆(x?2)2?y2?49相切的直线方程为:
y?1?kx 则
22k?13?1?k2,即32k2?36k?5?0 解得k?9?411?16,k??9?41216 将(3)代入x23216?y2?1得(16k2?1)x2?32kx?0,则异于零的解为x??k16k2?1设F(x1,k1x1?1),E(x2,k2x2?1)，则x32k132k1??16k2?1,x22??16k2?1 12则直线FE的斜率为：k2x2?k1x1kEF?kx?1?k2?3
2?x11?16k1k24于是直线FE的方程为:y?32k21332k116k21?1?4(x?16k2)
1?1?1即y?374x?3 ．G
(2) (3)
(4) 85
37?223?则圆心(2,0)到直线FE的距离d? 391?16故结论成立.
52.（2009江西卷理）（本小题满分12分）
x2y2??1（b为正常数）上任一已知点P1(x0,y0)为双曲线
8b2b2A,连接点,F2为双曲线的右焦点,过P1作右准线的垂线,垂足为
PyP2AF2A并延长交y轴于P2.
P1F1OP的轨迹E的方程; (1) 求线段P1P2的中点
(2) 设轨迹E与x轴交于B、D两点,在E上任取一点
F2xQ（x1,y1）(y1?0),直线QB，QD分别交y轴于M，N两点.
求证:以MN为直径的圆过两定点.
（0），（Ab，y0） (1) 解 由已知得F,则直线F2A的方程为:y??23b， 令x?0得y?9y0,即P2(0,9y0),
833y0(x?3b), bx0?x? ?x0?2x?x02y024x2y2??2?1, 设P,则?,即?（x，y）y代入2?2?1得:2?28bb8b25by0??y?y0?9y0?5y?5?0??2x2y2?1. 即P的轨迹E的方程为2?22b25bx2y2?1中令y?0得x2?2b2,则不妨设B(2) 证明 在2?, （-2b，0），（D2b，0）22b25b于是直线QB的方程为:y?y1(x?2b),
x1?2b直线QD的方程为:y?y1(x-2b),
x1-2b85
则M（0，2by1-2by1, ），N（0，）x1?2bx1-2b2by12by1）（y?）?0,
x1?2bx1-2b则以MN为直径的圆的方程为: x2?（y-22x2y22b2y1222x?2b?y1, ??1令y?0得:x?2,而在上,则Q（x,y）111222252b25bx1?2b2于是x??5b,即以MN为直径的圆过两定点(?5b,0),(5b,0). 53.（2009天津卷文）（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆2?2?1（a?b?0）的两个焦点分别为F1(?c,0),F2(c,0)(c?0)，过点
aba2E(,0)的直线与椭圆相交于点A,B两点，且F1A//F2B,|F1A|?2|F2B|
c（Ⅰ求椭圆的离心率； （Ⅱ）直线AB的斜率；
（Ⅲ）设点C与点A关于坐标原点对称，直线F2B上有一点H(m,n)(m?0)在?AF1C的外接圆上，求
n的值。 m解 （1）由F1A//F2B,|F1A|?|F2B|，得
|EF2||F2B|1??,从而
|EF1||F1A|2a2?c1c322c?a?3c，整理得，故离心率 e??22aa3?cc222（2）由（1）知，b?a?c?2c，所以椭圆的方程可以写为2x?3y?6c
2222a2)即y?k(x?3c) 设直线AB的方程为y?k(x?c?y?k(x?3c)由已知设A(x1,y1)B(x2,y2)则它们的坐标满足方程组?2 222x?3y?6c?消去y整理，得(2?3k)x?18kcx?27kc?6c?0
22222222依题意，??48c(1?3k)?0,?33?k? 3385