18k227k2c2?6c2,x1x2?而x1?x2?，有题设知，点B为线段AE的中点， 222?3k2?3k所以x1?3c?2x2
9k2c?2c9k2c2?2c22,x?联立三式，解得x1?，将结果代入韦达定理中解得 k??23.2?3k22?3k2(3)由（2）知，x1?0,x2?3c2，当k??时，得A(0,2c)由已知得C(0,?2c) 23c2c2c??(x?),直线l与x轴的交点(,0)是
2222线段AF1的垂直平分线l的方程为y?cc?AF1C的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为(x?)2?y2?(?c)2
22?c29c22?(m?)?n?直线F2B的方程为y?2(x?c)，于是点H(m,n)满足方程组?24?n?2(m?c)?由m?0，解得m?
5c22cn22，故? ,n?32m5当k?2n22时，同理可得? 3m5.
254.(2009湖北卷理)（本小题满分14分）
过抛物线y?2px(p?0)的对称轴上一点A?a,0??a?0?的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向直线l:x??a作垂线，垂足分别为M1、N1。
（Ⅰ）当a?（Ⅱ）记
p时，求证：AM1⊥AN1； 2?AMM、?AM1N1 、?ANN1的面积分别为S1、S2、S3，是否存在?，使
2得对任意的a?0，都有S2??S1S2成立。若存在，求出?的值；若不存在，说明理由。
解 依题意，可设直线MN的方程为x?my?a,M(x1,y1),N(x2,y2)， 则有M(?a,y1),N(?a,y2)
?x?my?a2由?2消去x可得y?2mpy?2ap?0 ?y?2px ，
85
从而有??y1?y2?2mp?y ①
1y2??2ap于是x1?x2?m(y1?y2)?2a?2(m2p?a) ②
y2?2px2(y1y2)2(?2ap)2又由11，y1?2px2可得x1x2?4p2?4p2?a2 ③ （Ⅰ）如图1，当a?p2时，点A(p2,0)即为抛物线的焦点，l为其准线x??p2
此时MP2),NP1(?,y11(?,y2),并由 ①可得y1y2??p2证法1：QuAMuuuv2
p,yuuuv1?(?1),AN1?(?p,y2)
?uAMuuuvuANuuv1?1?p2?y1y2?p2?p2?0,即AM1?AN1
2证法2：
QKAM1??y1p,KyAN1??p,
?Ky1y2AM1?KAN1?2p?p2?p2??1,即AM1?AN1.
(Ⅱ)存在??4，使得对任意的a?0，都有S22?4S1S3成立，证明如下：
证法1：记直线l与x轴的交点为A1,则OA?OA1?a。于是有
85
11S1??MM1?A1M1?（x1?a)y1221 S2??M1N1?AA1?ay1?y2211S3??NN1?A1N1?（x2?a)y2222?S2?4S1S3?(ay1?y2)2?(x1?a)y1?(x2?a)y2?a[(y1?y2)?4y1y2]?[x1x2?a(x1?x2)?a]y1y2将①、②、③代入上式化简可得
222
a2(4m2p2?8ap)?2ap(2am2p?4a2)?4a2p(m2p?2a)
2上式恒成立，即对任意a?0,S2?4S1S3成立
证法2：如图2，连接MN1,NM1,则由y1y2??2ap,y12?2px1可得
KOM?y12p2py22py2y2?????KON1,所以直线MN1经过原点O， x1y1y1y2?2ap?a同理可证直线NM1也经过原点O
又OA?OA1?a设M1A1?h1,N1A1?h2,MM1?d1,NN1?d2,则
S1?111d1h1,S2??2a(h1?h2)?a(h1?h2),S3?d2h2. 22256.（2009四川卷文）（本小题满分12分）
x2y22?1(a?b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率e?已知椭圆2?，右准线方
ab2程为x?2。
（I）求椭圆的标准方程；
??????????226M、N两点，且F2M?F2N?（II）过点F，求直线l的方1的直线l与该椭圆交于
3程。
?c2???a2，解得a?2,c?1
解（I）由已知得?2?a?2??c∴ b?a2?c2?1
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∴ 所求椭圆的方程为x22?y2?1 . （II）由（I）得F1(?1,0)、F2(1,0)
?x?①若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x??1，由??1?x22?2得y???2?y?12 设M(?1,22)、N(?1,?22)， ∴ ?????F??????2,22M?F2N?(2)?(?2,?22)?(?4,0)?4，这与已知相矛盾。 ②若直线l的斜率存在，设直线直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?k(x?1)， 设M(x1,y1)、N(x2,y2)，
?y?k(x联立??1)?x2，消元得(1?2k2)x2?4k2x?2k2?2?0 ?2?2?y?1∴ x?4k22k21?x2?1?2k2,x?21x2?1?2k2， ∴ y1?y2?k(x2k1?x2?2)?1?2k2，
又∵?????F?????2M?(x1?1,y1),F2N?(x2?1,y2) ∴ ?????F?????2M?F2N?(x1?x2?2,y1?y2)
∴ ?????F????F?22?8k2?2?2?2k?22262M?2N?(x1?x2?2)?(y1?y2)???1?2k2?????1?2k2???3化简得40k4?23k2?17?0 解得k2?1或k2??1740(舍去) ∴ k??1
∴ 所求直线l的方程为y?x?1或y??x?1 . 57.（2009全国卷Ⅱ理）（本小题满分12分）
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x2y23已知椭圆C:??1(a?b?0)的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、
a2b23B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为
22 （I）求a，b的值；
（II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有???OP?????OA?????OB?成立？
若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 解 (I）设F(c,0)，直线l:x?y?c?0，由坐标原点O到l的距离为
22 则|0?0?c|?2c32，解得2c?1.又e?a?3,?a?3,b?2. x2y2（II）由(I）知椭圆的方程为C:3?2?1.设A(x1,y1)、B(x2,y2) 由题意知l的斜率为一定不为0，故不妨设 l:x?my?1
代入椭圆的方程中整理得(2m2?3)y2?4my?4?0，显然??0。
由韦达定理有：y4m1?y2??2m2?3,y1y2??42m2?3,．．．．．．．．① .假设存在点P，使???OP?????OA?????OB?成立，则其充要条件为：
点P的坐标为(x?x(x1?x2)2(y1?y212,y1?y2)，点P在椭圆上，即
3?2)2?1。 整理得2x221?3y21?2x22?3y2?4x1x2?6y1y2?6。
又A、B在椭圆上，即2x21?3y21?6,2x22?3y22?6.
故2x1x2?3y1y2?3?0．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②
将x?1)(my21x2?(my12?1)?my1y2?m(y1?y22)?1及①代入②解得m?12 ?y224m231?y2?2或?2,x1?x2=?2m2?3?2?2,即P(32,?22). 当m?22时,P(3222,?2),l:x?2y?1; 85