当m??2322时,P(,),l:x??y?1. 222258.（2009湖南卷文）（本小题满分13分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，以两个焦点和短轴的两个端点 为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）. （Ⅰ）求椭圆C的方程;
（Ⅱ）设点P是椭圆C的左准线与x轴的交点，过点P的直线l与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围。
x2y2解 （Ⅰ）依题意，设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0),焦距为2c，
ab2由题设条件知，a?8,b?c, 所以b?212a?4. 2x2y2??1 故椭圆C的方程为84（Ⅱ）椭圆C的左准线方程为x??4,所以点P的坐标(?4,0)， 显然直线l的斜率k存在，所以直线l的方程为y?k(x?4)。
如图，设点M，N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),线段MN的中点为G(x0,y0)，
?y?k(x?4),?2222由?x2y2得(1?2k)x?16kx?32k?8?0. ??①
?1??4?8由??(16k)?4(1?2k)(32k?8)?0解得?222222?k?. ??② 2285
16k2因为x1,x2是方程①的两根，所以x1?x2??，于是
1?2k2x1?x24k8k2x0?y?k(x?4)?=?， 002221?2k1?2k8k2?0，所以点G不可能在y轴的右边， 因为x0??21?2k又直线F1B2,F1B1方程分别为y?x?2,y??x?2, 所以点G在正方形Q内（包括边界）的充要条件为
?2k2?2k?1?0,?4k?y0?x0?2,8k2????2, 亦即 即? ??2?1?2k21?2k2y?x?2.??0?0?2k?2k?1?0.4k8k2???2,?1?2k21?2k2?解得?3?13?1，此时②也成立. ?k?22故直线l斜率的取值范围是[?3?13?1,]. 2259.（2009福建卷理）（本小题满分13分）
x2已知A,B 分别为曲线C： 2+y2=1（y?0,a>0）与x轴
a的左、右两个交点，直线l过点B,且与x轴垂直，S为l上 异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.
(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧? AB的三等分点，试求出点S的坐标；（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存
在a,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。 解 方法一
AB的三等分点得∠BOT=60°或120°. (Ⅰ)当曲线C为半圆时，a?1,如图，由点T为圆弧?(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°. 又AB=2,故在△SAE中,有SB?AB?tan30??????,?s(t,); ?? (2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为(1,23),综上, S(1,(Ⅱ)假设存在a(a?0),使得O,M,S三点共线.
23)或S(1,23) 385
由于点M在以SB为直线的圆上,故BT?OS.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a). ?x2由?2?2?y?1得(1?a2k2)x2?2a2k2x?a4k2?a2??a0 ?y?k(x?a)(xa2k2?a2设点TT,yT),?xT?(?a)?1?a2k2,
a?a2k2故x2akT?1?a2k2,从而yT?k(xT?a)?1?a2k2. 亦即T(a?a2k22ak1?a2k2,1?a2k2).
????BT??((?2a2?B(a,0),k22ak1?a2k2,1?a2k2))
由??x?ax?a)得s(a,2ak),????OS??(a,2ak).?y?k( 由BT?OS,可得???BT?????OS???2a2k2?4a2k21?a2k2?0即?2a2k2?4a2k2?0 ?k?0,a?0,?a?2
经检验,当a?2时,O,M,S三点共线. 故存在a?2,使得O,M,S三点共线. 方法二:
(Ⅰ)同方法一.
(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.
由于点M在以SO为直径的圆上,故SM?BT.
显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为y?k(x?a) ?由?x2??y22?1得(1?a2b2)x2?2a2k2x?a2k2?a2?0 ?a?y?k(x?a)(xa4k2?a2设点TT,yT),则有xT?(?a)?1?a2k2.
a?a2k2故x?a?a2k2,从而yT?k(x2aka?a2k22akTT?a)?1?a2k2亦即T(1?a2k2?1?a2k2). ?B(a,0),?kyT1BT?x??2k,故kSM?a2k
T?aa由??x?a(x?a)得S(a,2ak),所直线SM的方程为?y?ky?2ak?a2k(x?a) O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即2ak?a2k(?a). ?a?0,K?0,?a?2 85
故存在a?2,使得O,M,S三点共线.
60.（2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分） 已知，椭圆C以过点A（1，（1） 求椭圆C的方程；
（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直
线EF的斜率为定值，并求出这个定值。
3），两个焦点为（－1，0）（1，0）。 2x2y2?2?1。 （Ⅰ）解 由题意，c＝1,可设椭圆方程为21?b4b 因为A在椭圆上，所以
19322??1?bb，解得＝3，＝（舍去）。 1?b24b24x2y2??1． 所以椭圆方程为 433x2y2??1得 （Ⅱ）证明 设直线ＡＥ方程：得y?k(x?1)?，代入
243 3（3+4k2）x2+4k(3?2k)x?4(?k)2?12?0
2设Ｅ（xE，yE），Ｆ（xF，yF）．因为点Ａ（1，
3）在椭圆上， 234(?k)2?12所以xE?2， 23?4k3yE?kxE??k。
2 又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以?k代k，可得
34(?k)2?12， xF?223?4k3yF??kxF??k。
2 所以直线EF的斜率kEF?yF?yE?k(xF?xE)?2k1??。
xF?xExF?xE21。 2即直线EF的斜率为定值，其值为
61.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分）
已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.
85
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。
解 (Ⅰ)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得
OPOM=λ，求点M
?a?c?1,解得a?4,c?3， ?a?c?7?x2y2??1 所以椭圆C的标准方程为
167（Ⅱ）设M(x,y)，其中x???4,4?。由已知
OPOM22??2及点P在椭圆C上可得
9x2?1122。 ??2216(x?y)整理得(16?2?9)x2?16?2y2?112，其中x???4,4?。 （i）??32时。化简得9y?112 4所以点M的轨迹方程为y??47(?4?x?4)，轨迹是两条平行于x轴的线段。 3x2y2??1，其中x???4,4?
11211216?2?916?23
（ii）??时，方程变形为
4
当0???分。
3时，点M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足?4?x?4的部43???1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足?4?x?4的部分； 4当??1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆；
当
62.（2009陕西卷文）（本小题满分12分）
y2x25已知双曲线C的方程为2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，顶点到渐近线的距离为
ab225。 5（1）求双曲线C的方程；
85