3.转动惯量测量的基础理论
3.1转动惯量的概念
先说转动惯量的由来，先从动能说起大家都知道动能E=(1/2)mv2，而且动能的实际物理意义是：物体相对某个系统（选定一个参考系）运动的实际能量，（P势能实际意义则是物体相对某个系统运动的可能转化为运动的实际能量的大小）。所谓转动惯量就是转动体对某轴转动惯性的大小的描述,其定义为:J=∑miri2即转动惯量等于各质点的质量与该质点到转轴距离平方乘积之和。因此,J的单位为kg2m2相应定理有垂直轴定理一个平面刚体薄板对于垂直它的平面轴的转动惯量，等于绕平面内与垂直轴相交的任意两正交轴的转动惯量之和[11-12]。表达式:Jz?Jx?Jy； 3.2转动惯量的测量方法
测量转动惯量有多种方法,如落体法(转动惯量仪)、双线摆法、复摆法、三线摆法等。
1）单线扭摆法测量原理
对于某些小微型对称刚体性构件，一般都要测其绕轴线的转动惯量。若采用单线扭摆法测量，操作简单，经济实用。采用单线扭摆测量转动惯量时，一般有二种方法可用。若已知吊线的扭转模量，可采用直接法；若不知吊线的扭转模量，可采用比较法与附加配重法。 2）三线摆测量原理：
三线摆具有结构简单、操作方便、物理图像直观等优点, 许多机电产品及其零部件和某些巨型非均质产品形状各异且极不规则,对于这类构件的转动惯量以及惯性积,没有现成的公式直接应用,多采用三线摆悬挂法测量。 3）落体法测量原理：
对于带有转轴的各种轮盘、转子、齿轮、涡轮、风扇、螺旋桨、曲柄和某些绕轴线对称分布的大中小型构件(质量大于100g),用落体法测量其惯性矩比较简便。特别是有的电机不允许或不便于取出其转子,无法知道其转动部分的质量和摩擦力矩,而且，落体法因地制宜,无需增加特殊测量装置,成本低廉。
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4）扭摆法测量原理：
扭摆法分为立式扭摆法和卧式扭摆振。扭摆法用于测量小型结构时可达到较高的精度，测量大型物体时就会产生较大的误差[13-15]。
本文中所要研究的是大型导弹，扭摆法以及三线摆等都不合适，因此文中测量转动惯量得方法是选用基于复摆测量的相平面分析法，将在5.1节详细介绍这种方法得测量原理。 5）复摆法测量原理：
对于某些被测刚体，出于安全的要求不允许竖立在地面上测量,出于设备机动性的要求也不允许地下沉井方法测量,故不能采用扭摆法和线摆法，因此，人们常用复摆法来测量。
图2.5 复摆法测量转动惯量示意图
0lθCmg如图2.5所示为一任意形状的构件，其重心为C，质量为m，将构件支在通过适当选取的O点(不与C点重合)的光滑水平转轴O上，测出重心C到O轴中心的距离为l，当重心C在O轴正下方时，构件可保持静止。现给予构件初始挠动，构件可在其平衡位置的左右微幅摆动，该构件成为一复摆。
忽略阻尼影响，根据绕固定轴的动量矩定理得到该构件摆动微分方程为
????mglsin? （3.1） J0?（3.1）式中: J0是构件对于0轴的转动惯量， ?是角位移。对于微摆动(??5?)，角位移?的弧度数几乎和它的正弦函数等值(误差小于0.1269%)，即??sin?。
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???mgl将（3.1）式近似为线性微分方程，则有J0???0其固有频率和固有周期分别为
?n?mglJ0，Tn?2? （3.3） J0mgl通过安装的光电传感器测得多次摆动循环所用的时间T，计算出近似的固有周期
Tn?T （3.4） nmgl2T （3.5） 4?2式中n为循环次数。于是得出构件绕水平转轴O的转动惯量为
J0?再根据平行轴定理，计算出构件对于过重心C的水平轴的转动惯量
J?J0?ml2 （3.6） 即 J?mgl22T?ml （3.7） 24?由此可知，在忽略阻尼影响的情况下，误差来源主要为?T， ?l，?m。可采取以下措施来控制误差:1）在仪器设计中,应采用足够刚度的测试架,并将它限制为绕固定轴旋转，否则由此造成的惯性交感会引起测量困难；2）基于微幅摆动及轴承处铰链光滑的假定，所以应通过多次测量，记录复摆在一定时间段内的振幅、周期变化规律,修正实际存在的阻尼影响。
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4 编码器测量误差的研究
4.1 引起编码器测量误差的因素 1）系统转轴安装误差
如图4.1是编码器安装示意图，理想情况下编码器中心应与转轴中心重合，但是实际情况下，由于转轴零件本身的不规则以及安装时出现的偏心会造成光学编码器测量上的误差。产生此误差后光学编码器的指示光栅将随着轴心的转动发生晃动，并且在指示光栅圆心绕轴心公转的同时指示光栅本身也在自转，进而产生新的莫尔条纹变化曲线，改变信号的输出的情况[16]。
图4.1 光学编码器安装示意图
2） 码盘偏心产生的误差
码盘偏心是指示光栅与标尺光栅之间的偏心距由于晃动等因素而产生动态变化的现象。
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4.2莫尔条纹方程的推导
4.2.1圆光栅莫尔条纹方程的推导[16]
在圆光栅中，应用的都是黑白光栅。节距角δ相同的两径向辐射光栅偏心迭合，如图4.2所示。设两块径向辐射光栅，光栅中心为O1及O2，节距角δ相同。设这两光栅偏心迭合，偏心量O1O2?e (图4.2中仅画出了光栅上半部的栅线，下半部的栅线没有画出)。取直角坐标系。以O1O2方向为x轴，O1O2的中点O为坐标原点，节距角δ值由x轴起算。两块光栅的栅线序号见图4.2，图中取零号栅线和x轴重合。由图可知，对光栅上半部来说，栅线交点(2,1)，(3,2)， (4,3)，??构成莫尔条纹Ⅰ；交点(3,1)，(4,2)，(5,3)，??构成莫尔条纹Ⅱ；类此，作为一般情况，这一簇莫尔条纹Ⅰ、Ⅱ、?是由光栅O2序号为n的栅线和光栅O1序号为(n+k)的栅线的交点轨迹所构成。在图4.2中，k为整数，但根据两光栅栅线相对位置的不同，k可取大于零的任意有理数。每取一个k值对应一条莫尔条纹，相邻两条条纹所对应的k值，其差值为1。如图中，k=1，得条纹Ⅰ；k=2，得条纹Ⅱ;
图4.2 莫尔条纹与读数头图样
如图可计算出指示光栅的栅线方程：
y?xtan(n?)?etan(n?) （4.1） 2标尺光栅的栅线方程
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