4.3偏心对叠栅条纹信号相位影响的理论分析 4.3.1叠栅条纹信号的形式
莫尔条纹信号的形成：由光栅莫尔条纹形成原理可知，光栅的莫尔条纹是由一系列四棱形光点组成的，当光栅受平行光均匀照射时，莫尔条纹的光强也呈四棱形光点分布。因此，在理想条件下，莫尔条纹的光强分布情况，应是图4.11（a）所示的等腰三角形波形[5]。波形的周期为莫尔条纹的间距B。
图4.11 莫尔条纹信号
4.3.2叠栅条纹信号相位误差的理论分析 （一）公式推导
根据计量光栅叠栅条纹信号产生的基本原理,计量光栅码盘可以抽象成这样一个数学模型。光栅栅线沿圆周连续分布 ,确定参考光栅栅线φ后 ,每一栅线都有自己的相位 ,称之为叠栅相位 ,此相位描述各光栅栅线参与形成叠栅条纹时对叠栅条纹信号相位的贡献,沿圆周每经过一个光栅常量δ,此相位就变化一个 2π 周期;参考栅线的叠栅相位φ=0,其他光栅栅线的叠栅相位依其与参考栅线的位置关系沿圆周连续增大,当φ为2 π的整数倍时 ,对应光栅栅线即为实际的透光栅线。对于一个光栅常数为δ且有 N 条光栅栅线的光栅码盘,叠栅相位的定义域为
[0,2N?],与参考栅线成? 角的光栅栅线的叠栅相位为
??2?? （4.21） ?如图4.10所示,增量式光学编码器读头 D 检测到的叠栅条纹信号的相位与在读头位置处参与形成叠栅条纹的两计量光栅栅线的叠栅相位有关,设指示光栅栅线为（图中实线）的叠栅相位为?1 ,标尺光栅φ栅线（图中点划线）的叠栅相位为
?2 ,则叠栅条纹信的相位 可表示成公式（4.22）:
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???1??2 （4.22）
图4.12 光学编码器理论模型
由于增量式光学编码器的装调工艺 ,形成叠栅条纹的两计量光栅中心轴之间及其与系统转动中心之间会产生偏心现象 （如图 4.12） 。考虑一般的情况 , 设转动中心为以此为坐标原点建立直角坐标系,指示光栅的圆心为o1,装配形成的偏心量为e1 ，标尺光栅的圆心为o2,也是由于装配所形成的偏心量为e2。不失一般性,起始时刻,指示光栅o1 的参考栅线在与 x 轴成?0 的直线上,标尺光栅 O的参考栅线在与 x 轴成?0的直线上,两参考栅线都经过各自圆心并且过转动中心 O;
在实际应用中,一般指示光栅不动,标尺光栅随物体转动,当标尺光栅绕转动中心再转动θ角时,在给定坐标系下,指示光栅盘o1上叠栅相位为?1 的栅线方程为：
y?e1sin?0?tan[?1???0](x?e1cos?0) （4.23） 2?标尺光栅盘o2上叠栅相位为?2的栅线方程为
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y?e2sin(???0)?tan[?1?????0](x?e2cos???0) （4.24） 2?设读头位于指示光栅半径为 R、与参考栅线成?角的位置处,即在给定坐标系统下,该读头的位置坐标为
X?Rcos(???0)?e1cos?0,Y?Rsin(???0)?e1sin?0,
将读头的位置坐标代入两光栅的栅线方程,可解出读数头位置处指示光栅栅线的叠栅相位?1 及标尺光栅栅线的叠栅相位?2 与标尺光栅转动角? 的关系为
?1?2?? （4.25） ??2??Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)?2???arctan???????0 （4.26） ????Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)?由于叠栅相位与读头位置角 及标尺光栅转动角 在各自定义域内是一一对应的,因此, 4.25 式和4.26 式中 , 表示反正切值,而 4.26式用读头位置角 式只保留了反正切主值域的值。这样读头检测到的叠栅条纹信号的相位为
???Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)?2?????arctan???????0? （4.27） ???Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)??由（4.27） 式可见 ,光栅盘中心轴之间的偏心及它们与系统转动轴之间的偏心 ,都会影响光学编码器读头检测到的叠栅条纹信号的相位 ,而且在有偏心的情况下 ,读头的位置也会影响其检测到的叠栅条纹信号的相位[9]。 (二) 结果讨论
1 一般情况下 ,增量式光学编码器读头检测到的叠栅条纹信号相位的理论公式4.27 中含有三项 ,分别反映码盘偏心时不同因素对叠栅条纹信号相位的贡献: 第一项因素:表示读头的位置;
由码盘偏心带来的相位偏差不仅与码盘偏心情况有关,而且与标尺光栅转过的角度及读头的位置都有关。考虑两种特殊位置的读头α=0和α =π,码盘偏心时给两个读头检测到的叠栅条纹信号相位带来的偏差分别为
（4.28）
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（4.29）
根据 4.28 式和 4.29 式 ,相对于系统转动轴中心 ,当标尺光栅偏心而指示光栅同轴 , 即 e1=0 而e2 ≠0 时,码盘偏心给叠栅条纹信号相位带来的偏差随标尺光栅转过角度而变化,转过角度一定时,不同读头因此而引入的相位偏差也不同;当标尺光栅同轴而指示光栅偏心,即e1 ≠0而e2=0时,码盘偏心给叠栅条纹信号相位带来的偏差不随标尺光栅转过角度而变化,但与读头的位置有关,读头位置确定,由此引入的相位偏差就一定;
?Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)?第二项因素:arctan??
?Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)?表示码盘轴之间及其与系统转动中心之间的偏心 ,角度测量的系统误差主要由这一项产生;
第三项因素:???0,表示标尺光栅的转动。单独保证指示光栅或标尺光栅与系统转动轴重合,都不能消除第二项产生的影响,因此,在增量式光学编码器的装调过程中,光栅码盘都必须调整得与系统转动中心同轴。
由4.27 式分析可得,理想工作条件下叠栅条纹信号相位与标尺光栅转过角之间的关系如下:
2????(???0??0) （4.30）
将4.27 式与4.28进行比较 ,可以得到由于码盘偏心而给叠栅条纹信号相位带来的偏差为
????Rsin(???0)?e1sin?0?e2sin(???0)??2????????arctan?0??? （4.31） ?????Rcos(???0)?e1cos?0?e2cos(???0)??为了简化计算，现令?=?， ?0??0?0，即两光栅得参考栅线都为x轴，带入4.31得
????0?2??arctan(e2sin(?)) （4.32）
R?e1?e2cos(?)由此相位误差可以推导出此时产生得角度误差，设角度误差为??
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???e2sin(?)??*??arctan() 2?R?e1?e2cos(?)其中?为系统转轴实际转过得标准角度，设偏心后测量得角度大小为? 则??????；即，
??arctan(对（4.33）两边对t求导，
e2sin(?))??； （4.33）
R?e1?e2cos(?)e2cos(?)(R?e1?e2cos(?))?(e2sin(?))2(R?e1?e2cos(?))2??(t)???(t)???(t)e2sin(?)1?()2 （4.34）
R?e1?e2cos(?)e2cos(?)(R?e1?e2cos(?))?(e2sin(?))2???(t)???(t)22(R?e1?e2cos(?))?(e2sin(?))?(t)?arctan(e2sin(?(t)))??(t)； （4.35）
R?e1?e2cos(?(t))至此我们求出了??(t)和?(t)的表达式，为后文研究光学编码器测量误差对转动惯量测量误差影响得研究做好了准备。由偏心后得到的??(t)和?(t)可以通过matlab软件绘制出相应得相平面运动曲线。
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