y?xtan(n?)?etan(n?)2； （4.2）
对光栅O1考虑栅线序号(n＋k)，将式(1)改写为
y?xtan((n?k)?)?etan((n?k)?);2 （4.3）
联立后得到莫尔条纹：
ee2y?x?y??0tan(n?)4； （4.4）
22方程(4.4)为圆方程，圆心为(0,e/2tankδ)，半径为e /2sinkδ。δ及e一定时，原新坐标位置及圆半径值均随k的取值不同而不同。因此，方程(4.4)所表达的是一簇圆形图样。令y=0，有x=±e/2，则所得图形特征为：条纹簇的圆心位于y轴上，全部圆条纹均通过两个光栅的中心O1及O2。
由于光栅上下两半完全对称，因此，光栅下半部的莫尔条纹花样和上半部的完全一样，致使圆心坐标变为(o,?e/2tank?)。
当动光栅转动时(例如O1顺时针方向转动)，各圆形条纹逐渐向外扩张。转过一个光栅节距角δ，条纹向外移动一个条纹宽度。如条纹由Ⅲ移到Ⅱ，由Ⅱ移到Ⅰ，位于与偏心方向垂直位置上的莫尔条纹近似的垂直于栅线，仿照对长光栅形成的莫尔条纹的称呼，称这个位置上的莫尔条纹为横向莫尔条纹。沿着偏心方向的莫尔条纹近似的平行于栅线，相应的称为纵向莫尔条纹。在实际应用中，这一类圆光栅较多的是应用横向莫尔条纹。现对横向莫尔条纹中的有关问题分析如下：
在式(4.4)中，x=0时，得yk的两个根为
yk?1ee(?) （4.5） 2tank?sink?1ee?) （4.6） yk?(
2tank?sink?式(4.6)表示的根对实用无意义，故不考虑。式(4.5)表示了横向莫尔条纹的位置，下标k表示条纹位置随k的取值不同而变化，当δ足够小，k值不大，乘积kδ也足够小时，则式(4.5)可简化，莫尔条纹位置可由下式表示：
yk?e/k? （4.7）
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条纹宽度等于相邻两条纹之间的距离，这两条纹所对应的k值相差为1，故条纹宽度W为
w=yk?yk?1?e/k(1?k)? （4.8）
4.2.2 偏心对光学编码器测量影响得分析
（一） 码盘偏心对叠栅条纹信号频率输出影响的分析
在上一节图4.2中只画出了上半部的图样，下半部与上半部对称，图中省略。图中1、2或3代表读头可能出现的位置。当转动光栅转动时，条纹由内向外逐渐扩散。在编码器高速转动或由低速转动向高速转动过渡的过程中，会产生相对严重的码盘偏心情况，偏心的程度及两码盘圆心连线的方向是随震动情况或装调情况随机产生的。由此使得读头相对于两码盘圆心的位置可能出现在坐标轴中任意一个位置(1、2或3)，只是读头距离坐标系原点的距离变化很小。
由式(4.8)可得，条纹的宽度随着码盘的偏心程度e的变化而变化，e变大，所读条纹变宽，占空比变小；e变小，所读条纹变窄，占空比变大。
（二） 码盘偏心对莫尔条纹运动规律影响的研究
图4.3中角?是系统轴心转过的角度，即准确角度，r是假设得栅线半径，
0o为转动轴轴心，s0为o1到系统轴心o的偏心距
、
图4.3.向量转换坐标
由图4.3可得到向量转换得关系式：
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?i???cos??????j????sin???又因为
0sin???i??； ???cos???j??r??rcos(n?)[icos??jsin?]?rsin(n?)[isin??jcos?] （4.9）
0所以
r??[rcos(n?)cos??rsin(n?)sin?]i?[rsin(n?)cos??rcos(n?)sin?]j （4.10）
0000此处应特别注意，在建立坐标系以及计算相应向量前，要先规定好角度的方向，以下以图示中为正，选取要一致，以免带来不必要的计算失误。
现在令栅线方程为y=kx+b，其中k可以由向量式（4.10）求得：
k?r0sin(n?)cos??r0cos(n?)sin?（4.11） ?tan(n???)
r0cos(n?)cos??r0sin(n?)sin?显然直线必过o1，设o1的坐标是(s0cos?,s0sin?)
因此可求得转动?角度时，o1的栅线方程为y=kx+b，代入k的表达式:
y?tan(n???)x?b （4.12）
然后将o1点的坐标代入其中得到：
s0sin??tan(n???)cos??b；
则可以解出，
b?tan(n???)cos??s0sin?
将其代入直线方程，得到o1的栅线方程为：
y?tan(n???)x?s0tan(n???)cos??s0sin? （4.13）
o2的栅线方程求解步骤是：
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图4.4 转轴安装偏心后的示意图
如图4.4：设o1o2=e，，o1o=s0；
y?s0sin??[s0cos??e]tan(n?)?xtan(n?)； 若o1取（n+k）的栅线序号，即（4-13）式改为：
y?tan[(n?k)???]x?s0tan[(n?k)???]cos??s0sin? 将（4.14）和（4.15）方程联立，
??y?tan[(n?k)???]x?s0tan[(n?k)???]cos??s0sin??y?scos??e]tan(n?)?xtan(n?) 0sin??[s0将上式移项可得：
???tan(n?)?y?s0sin??x?s0cos??e， ??tan[(n?k)???]?y?s0sin??x?s0cos???a?s0sin?此时，令 ??b?s0cos??e?c?s，
0sin???d?s0cos?第 19 页4.14）4.15）
4.16） 共 53 页（
（（
y?a?tan(n?)?①??x?b则方程可化简为：? （4.17）
?tan[(n?k)???]?y?c②?x?d? 方程②式的左边=
tan(n?)?tan[k???]，现将令A?tan[k???]，并将①代入
1?tan(n?)tan[k???]（4.17）②中得到新的莫尔条纹方程：
Ax2?Ay2?(Ab?Ad?a?c)x?(Aa?Ac?d?b)y?Abd?Aac?ad?cb?0 整理后得到方程：
[x?(b?d)?(a?c)/A2(a?c)?(b?d)/A2]?[y?]22 （4.18） ad?cb(a?c)?(b?d)/A2(b?d)?(a?c)/A2?bd?ac??[]?[]A22可以看到其轨迹是圆，设其圆心（i，j），半径为R
i?(b?d)?(a?c)/A
2(a?c)?(b?d)/Aj?
2ad?cb(a?c)?(b?d)/A2(b?d)?(a?c)/A2R2?bd?ac??[]?[]
A22在上一节圆光栅标准莫尔条纹方程的推导中我们可以找到指示光栅所转过的角度与莫尔条纹运动曲线之间的关系，即：指示光栅顺时针每转过节距角? 的角度，莫尔条纹就会向外扩散一圈，此时读数头输出一个脉冲，但是，这里如果仅观察此莫尔条纹方程找不到直接的转角和莫尔条纹曲线移动情况之间的关系，此时猜测是否可以从莫尔条纹曲线族中直观的观察出两者得变化关系。所以，下一步将莫尔条纹曲线族在MATLAB中画出。 具体步骤如下：
（一） 通过附录A以及附录B中的函数在MATLAB中画出?在0.1°到0.2°之间等间距得取5个值，在图中画出转过?时k=1，2这个条莫尔条纹的曲线，分别以点线（k=2）和实线（k=1）表示。
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