5光学编码器误差对转动惯量测量误差的影响研究
5.1基于复摆运动相平面分析法测量转动惯量
??f(x,x?)?0来描 相平面的概念：设一个二阶系统可以用下面的常微分方程 ?x?)是x和x?(0)和?的线性或非线性函数。在一组非全零初始条件下x述。其中f(x,x?(t)描述。如果取x和xx(0)不全为零)，系统的运动可以用解析解x(t)和x?构成坐标
平面，则系统的每一个状态均对应于该平面上的一点，这个平面称相平面[12]。当t变
?平面上描绘出的轨迹，表征系统状态的演变过程，该轨迹就化时，这一点在x-x叫做相轨迹[11].
复摆的概念：复摆是在重力作用下，能绕通过自身某固定水平轴摆动的刚体。又称物理摆。复摆的转轴与过刚体质心C并垂直于转轴的平面的交点O称为支点或悬挂点。摆动过程中，复摆只受重力和转轴的反作用力，而重力矩起着回复力矩的作用。设质量为m的刚体绕转轴的转动惯量为I，支点至质心的距离为s，则复摆微幅振动的周期T?2?I/mgs，式中g为重力加速度。它相当于摆长l＝I／ms的单摆作微幅振动的周期。在OC的延长线上取O′点使OO′＝l（l为等价摆长）则此点称为复摆的摆动中心。支点和摆动中心可互换位置而不改变复摆的周期。知道T和l，就可由周期公式求出重力加速度g。当复摆受到一个冲量作用时，会在支点上引起碰撞反力。若转轴是刚体对支点的惯量主轴，外冲量垂直于支点和质心的连线OC且作用于摆动中心O′上，则支点上的碰撞反力为零。因此，复摆的摆动中心又称撞击中心[15]。
本文采用基于复摆运动相平面分析的转动惯量测量方法，具体方法如下：
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图5.1.复摆示意图
0lθCmg有图分析力矩的一下公式：
d2??d?? J?2??mgSsin(?)?sgn???(M?Rx) （5.1）
dt?dt?其中，M为摩擦力矩：
M???mg?cos(?) （5.2） 为空气阻力力矩 ，由于空气阻力与速度的平方成正比，而速度由于角速度成
?d??正比，所以又Rx?K???。(5.1)式中由于是左右摆动所以阻力矩有两个方向：
?dt?d?? sgn??????dt??1,d?/dt?0； （5.3）
?1,d?/dt?0;?2令 x??,y?d?可得到 下列表达式： dt,dy?asin(x)?bcos(x)?cy2 ， (5.4) ?dxydy?asin(x)?bcos(x)?cy2， （5.5） ?dxy其中，
a?mgS/J,b??mg/J,c?K/J.
带入已知边界条件得到：
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y?(?2bc?a)cos(x)?(2ac?b)sin(x)?C1?e?2cx2c?0.5(?2bc?a)cos(x)?(2ac?b)sin(x)?C1?e2cx2c?0.522,y?0 （5.6）
y?,y?0 （5.7）
用接缝法画出相应相平面图如下：
图5.2相平面复合运动 由于?B?d?dt,?D???0d?dt,?E???0.8?0d?dt （5.8）
??0.4?0,分别把B,D,E,点带入方程(5.6)(5.7)可求得：
?2B?(?2bc?a)?C1, （5.9）
2c2?0.5??2D(?2bc?a)cos(0.8?0)?(2ac?b)sin(0.8?0)?C1e?1.6c?0?, （5.10）22c?0.5(?2bc?a)cos(0.4?0)?(2ac?b)sin(0.4?0)?C1e?0.8c?0? （5.11）22c?0.52E (?2bc?a)cos(?0)?(2ac?b)sin(?0)?(4c2?1)?C1e?c?0?0 （5.12） 结合方程5.9到5.12，并通过一系列计算方法便可以得到转动惯量a的取值，带入式J?mgS/a,可得到转动惯量得值。
5.2 应用matlab软件绘制二阶运动方程的相平面图
上一小节提到用相平面的方法求得转动惯量J，此节分析如何利用matlab完成相平面曲线得绘制，为后文误差比较分析做一些铺垫，具体步骤如下：
（一）首先进行微分方程的转换为微分方程组
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d2??d??J?2??mgSsin(?)?sgn???(M?Rx)dt?dt? 已知运动方程： ; (5.13)
现令,
x2??;x1?d?;dt
且J?45kg?m2，m=500kg，s=1m，g=9.8，??0.05，K=5N?m?s2，?0??0.5rad； 则方程（5.13）可转换为以下方程组：
?x'1??108.89sin(?)?0.0222signx1[245cosx2?5x21]?'x2?x1? (5.14) ?x(0)?01??x2(0)??0.5?（二）编写相应的函数文件（见附录F） 在命令窗口输入：
option= odeset('RelTol',1e-6,'OutputFcn','odephas2'); [t,x]=ode45('xprim4',[0,0.65],[-0.5,0],option); 绘图得到相平面图（见图5.3）：
图5.3 相平面复合运动曲线
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5.3光学编码器误差对转动惯量测量影响分析
（一）应用matlab拟合得到仿真模拟下的角速度以及角度函数表达式
1>由上一节我们知道，当假设J=45kg?m2时可以模拟出相平面曲线，现令标准模拟情况下得角速度为thetam，角度为theta，同样也可以通过在命令窗口输入相应指令调用函数得thetam-t以及theta-t得关系曲线 命令窗口输入：
option= odeset('RelTol',1e-6,'OutputFcn','odephas2'); [t,x]=ode45('xprim4',[0,0.65],[-0.5,0],option); Plot（t，[x:,1]）; Plot（t，[x:,2]）;
图5.4thetam-t和theta-t曲线
2>运用数值模拟工具分别取出thetam（t）以及theta（t）的函数表达式
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