对此要进行讨论.（2）考虑关于x的不等式组?式的解集，再利用数轴帮助确定a的取值范围.
?x?a≥0，?5?2x?1只有四个整数解，可先求出不等
【解】（1）去分母，得2x+a＝x－1，解得x＝－1－a，
因为方程的解是正数，所以－1－a＞0，解得a＜－1， 又因为x－1≠0，即x≠1，所以－1－a≠1，解得a≠－2， 综上，a的取值范围是a＜－1且a≠－2.故应选D.
?x≥a，(2) 解不等式，得?因为该不等式组有解，所以该不等式组解集为
x?2.?a≤x＜2.
因为只有四个整数解，所以此解集可在数轴表示如2-2，
所以由数轴可得实数a的取值范围是－3＜a≤－2. 【说明】（1）既属于分式方程，也属于含有字母系数的
-3 -2 -1 0 1 2 3 图
图2-2 方
程，求解时除了要检验外，还要注意对字母的范围加以讨论，否则容易出现错误；（2）发挥了数轴的作用，才得以使求解的难度降下来，事实上，利用数轴，也易于理解，避免错误.
例3 关于x的方程kx2+(k+2)x+（1）求k的取值范围；
（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0?若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
【分析】（1）利用根的判别式列式即求，但应注意题中的隐含条件；（2）若存在，则可依题意，并利用一元二次方程根与系数的关系，构造出方程求得k，此时，利用根的判别式加以验证，若能满足其大于等于0，即存在，否则就不存在. 【解】（1）因为关于x的方程kx2+(k+2)x+
所以Δ＝(k+2)2－4k3
k4k4k4＝0有两个不相等的实数根.
＝0有两个不相等的实数根，
＞0，且k≠0，解得k＞－1，且k≠0，
所以k的取值范围是k＞－1，且k≠0. （2）不存在符合条件的实数k. 理由：设方程kx2+(k+2)x+
k4＝0的两根分别为x1、x2，
k?2k14由根与系数关系，得x1+x2＝－
k?2k，x1·x2＝
，又
1x1+
1x2＝0，
则有－＝0，解得k＝－2.由（1）知，k＝－2时，Δ＜0，即原方程无实解.
所以不存在符合条件的k的值.
－第15页，共29页－
【说明】本题是一道一元二次方程根的判别式及根与系数关系的综合应用题，求解时必须灵活运用两者的关系.
例4 （1）将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输，现甲、乙两船已分别运走共任务数的
5737，，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨，求分配给甲、乙两船的任
务数各是多少吨？
（2）自编一道应用题，要求如下： ①是路程应用题.三个数据100，②只要编题，不必解答.
【分析】（1）弄清题意，找出甲、乙两船共运输的货物、已运走的货物之间的数量关系，列出相应方程（组）；（2）提供三个数据，根据路程问题中的路程、时间、速度三者关系编拟应用题.
【解】（1）设分配给甲船的任务数是x吨，分配给乙船的任务数是y吨，则
?x?y?490,?x?210,? 解之得 ?3?5y?280.x?y?30.??7?725，
15必须全部用到，不添加其他数据.
（2）已知甲、乙两人走的路程之和为100km，且甲走的路程的甲、乙两人各走了多少千米？（答案不唯一，符合题意即可）
25等于乙走的路程的
15，求
【说明】本题集常规应用题与创新题的特点于一身，体现了传统与时尚的统一.（1）要求能找出等量关系，列出方程（组）求解；（2）让学生自行编题，考查学生的逆向思维，对学生提出了较高要求，需一定的分析和应变能力，但学生可发挥的空间较大，体现了“不同的人在数学上得到不同的发展”的新理程理念.
例5 已知：关于x的一元二次方程mx2?(3m?2)x?2m?2?0(m?0)． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1?x2）．若y是关于m的函数，且
y?x2?2x1，求这个函数的解析式；
（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．
【分析】（1）只需说明△>0，但要说清理由，注意书写格式；（2）利用因式分解法或公式法解一元二次方程，判断两根大小，从而建立函数关系式；（3）画出函数图像，找出交点，求出m 的取值范围.
【解】 ⑴ ?mx2?(3m?2)x?2m?2?0是关于x的一元二次方程，
?3 ??[?(m2 ?2)]m?4m(2?m2?)m?24?m．? 4(?2)－第16页，共29页－
?当m?0时，(m?2)2?0，即??0．?方程有两个不相等的实数根．
x? ⑵ 解：由求根公式，得
2m2m?2m(3m?2)?(m?2)． y 4 3 2 1 y?2m(m?0) 2m ?x?或x?1．
2m?2m?2(m?1)m?1．
y?(m?0) m ?m?0，? ?x1?x2，
?x1?1，x2?2m?2m．
?2?1?2m-4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 图2-3 ．
?y?x2?2x1? 即y?2m(m?0)2m?2m为所求．
⑶ 在同一平面直角坐标系中分别画出 y?2m(m?0与)y?2m(m?0)的图象．如图
2-3.
由图象可得，当m≥1时，y≤2m．
【说明】本题是一道代数综合题，综合了一元二次方程、一次函数、反比例函数，用函数的观点看不等式等知识.对考生要求较高，体现了数形结合、转化等数学思想.
例6 如图2-4，已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点E在AC上．(E与A、C均不重合)
(1)若点F在AB上，且EF平分Rt△ABC的周长，设AE= x，用含x的代数式表示S?AEF，并写出x的取值范围；
(2)若点F在折线ABC上移动，试问是否存在直线EF将Rt△ABC的周长与面积同时平分，若存在直线EF，则求出AE的长；若不存在，请说明理由.
【分析】（1）作出三角形的高，根据条件，利用相似用含x的代数式表示相关线段；（2）分情况讨论，列方程，但应考虑周全，舍去不符合题意的解. 【解】（1）过F作FH⊥AC于H .
在 Rt△ABC中，AC = 3， BC = 4，∴AB = 5， ∴△ABC的周长为3 + 4 +5 =12.
∵EF平分△ABC的周长，且AE = x ，∴AF = 6 － x . ∵FH∥BC，∴△AFH∽△ABC， ∴
FHBC?AFAB455142212??x?(6?x)??x?x(0?x?3)； 2555－第17页，共29页－
H，
FH?6?x，FH?4(6?x)，
∴S?AEF（2）若点F在AB上，则S?AEF=?6?2666?2625x?2125x=3，
解得 x1?，x2?，因为0?x?3，
图2-4 所以x?6?2；
1若点F在BC上，则（3?x)(3?x)?3，解得x1?2x1?3时，3+x?4，所以点F不在BC上.
， 3，x2??3（舍去）
答：点F在AB上，AE=
6?26.
【说明】本题结合几何知识考察一元二次方程相关知识，根据题意建立方程，解题后必须考虑x的取值是否符合相关几何图形的条件.渗透透数形结合、分类讨论等数学思想和方法，把一元二次方程、二次函数、相似三角形等知识有机融合，具有较强的综合性．
【复习建议】
1．正确理解课标要求，通过复习使学生进一步理解和掌握解方程(组)、不等式（组）的基本方法、基本技能，掌握重点、突破难点、注意易错点，提高基本运算能力．感悟方程(组)与不等式（组）之间的联系．解不等式组时要注意数形结合思想的应用，培养学生养成结合数轴求解集的习惯.[见例1、例2]
2．列方程(组)、不等式（组）解实际问题的关键是如何找到能够表示题目全部含义的数量关系，考查学生收集和处理信息的能力．在复习时要注意联系社会关注的热点问题的应用题，重视情境问题的分析，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，逐步培养数学建模能力．[见例4]
3．加强方程(组)、不等式、函数和几何知识的综合运用训练，做到有关知识点的相互联系和融会贯通．[见例5、例6]
4．复习中要注重渗透数形结合、转化，分类讨论等数学思想和方法，使学生在解题中体会其重要作用．[见例2（2）、例5、例6]
5．根据实际情况，对课标以外的内容作适当的补充和加强．［见例1(4)、例3］
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三．函数及其应用
李强 昆山市兵希中学
【近四年江苏省十三大市中考函数及其应用的分值与比率】(仅供参考)
南京市 苏州市 无锡市 常州市 镇江市 扬州市 泰州市 南通市 盐城市 淮安市 宿迁市 徐州市 连云港市 合计 平均 2007年 分值(分) 18 18 12 25 17 24 26 43 38 25 24 23 28 321 26.75 比率(%) 15.00 14.40 9.23 20.83 14.17 16.00 17.33 28.67 25.33 16.67 16.00 15.33 18.67 18.97 2008年 分值(分) 23 25 11 18 20 26 25 46 31 15 27 25 28 320 26.67 比率(%) 19.17 19.23 8.46 15.00 16.67 17.33 16.67 30.67 20.67 10.00 18.00 16.67 18.67 18.93 2010年 分值(分) 31 26 34 33 34 36 45 44 21 37 38 31 38 448 34.46 比率(%) 25.83 20.00 26.15 27.50 28.33 24.00 30.00 29.33 14.00 24.67 25.33 25.83 25.33 24.62 注：【09年江苏省中考数学为全省统一命题，分值为37分，比率为24.7%】
【课标要求】
1.探索具体问题中的数量关系和变化规律 2.函数
(1)通过简单实例，了解常量、变量的意义．
(2)能结合实例，了解函数的概念和三种表示方法，能举出函数的实例． (3)能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析．
(4)能确定函数(尤其是实际问题)中自变量的取值范围，并能根据自变量与函数值的对应关系求值．
(5)能用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系． (6)结合对函数关系的分析，尝试对变量之间的变化规律进行初步预测． 3.一次函数
(1)结合实际问题体会一次函数的意义，归纳一次函数的一般形式. (2)理解正比例函数的意义及与一次函数的隶属关系．
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