（2）当点B在线段ED的延长线上，即BE＞DE=OD=4时，同理可得CD=2+t，BD=DE=BE=1t-4, 2∴∴，
（为负数，舍去）
当或时，
考点：1 相似三角形的判定与性质；2 一元二次方程
83．在Rt△ABC中，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上， 且DM⊥DN，作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E。
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF； （2）拓展探究：若AC≠BC。 ①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明； ②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明。
【答案】(1)证明见解析；（2）拓展探究见解析． 【解析】 试题分析：（1）如图1，连接CD，证明△AND≌△CMD，可得DN=DM；证明△NED≌△DFM，可得DF=NE，从而得到AE=NE=DF；
（2）①若D为AB中点，则分别证明△DEN∽△MFD，△AEN∽△MFB，由线段比例关系可以证明AE=DF结论依然成立．
②若BD=kAD，证明思路与①类似．
（1）证明：若AC=BC，则△ABC为等腰直角三角形， 如图1所示，
连接CD，则CD⊥AB，
又∵DM⊥DN，∴∠1=∠2．
在△AND与△CMD中，
??1??2? ?AD?CD??A??DCM?45??∴△AND≌△CMD（ASA）， ∴DN=DM．
∵∠4+∠1=90°，∠1+∠3=90°，∴∠4=∠3， ∵∠1+∠3=90°，∠3+∠5=90°，∴∠1=∠5， 在△NED与△DFM中，
??4??3??DN?DM ??1??5?∴△NED≌△DFM（ASA）， ∴NE=DF．
∵△ANE为等腰直角三角形， ∴AE=NE， ∴AE=DF．
（2）①答：AE=DF．
由（1）证明可知：△DEN∽△MFD ∴DEEN?，即MF?EN=DE?DF． MFDF同理△AEN∽△MFB， ∴AEEN?，即MF?EN=AE?BF． MFBF∴DE?DF=AE?BF， ∴（AD-AE）?DF=AE?（BD-DF）， ∴AD?DF=AE?BD，∴AE=DF． ②答：DF=kAE．
由①同理可得：DE?DF=AE?BF， ∴（AE-AD）?DF=AE?（DF-BD） ∴AD?DF=AE?BD ∵BD=kAD ∴DF=kAE．
考点：相似形综合题．
96．已知：如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在边BC、AC上，∠ADE=60°．
（1）求证：△ABD∽△DCE； （2）如果AB=3，EC=，求DC的长．
【来源】2016届安徽省合肥市蜀山区九年级上学期第三次月考数学试卷（带解析） 【答案】（1）见解析；（2）DC=1或DC=2． 【解析】 试题分析：（1）△ABC是等边三角形，得到∠B=∠C=60°，AB=AC，推出∠BAD=∠CDE 得到△ABD∽△DCE； （2）由△ABD∽△DCE，得到
=
，然后代入数值求得结果．
（1）证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=AC，
∵∠B+∠BAD=∠ADE+∠CDE，∠B=∠ADE=60°， ∴∠BAD=∠CDE ∴△ABD∽△DCE；
（2）解：由（1）证得△ABD∽△DCE， ∴
=
，
设CD=x，则BD=3﹣x， ∴
=，
∴x=1或x=2， ∴DC=1或DC=2．
考点：相似三角形的判定与性质． 2．（2015秋?娄星区期末）如图，在边长为9cm的等边三角形ABC中，D为BC上一点，且BD=3cm，E在AC上，∠ADE=60°，则AE的长为（ ）
A．2cm B．5cm C．6cm D．7cm
【来源】2016届湖南省娄底市娄星区九年级上学期期末数学试卷（带解析） 【答案】D 【解析】
试题分析：根据三角形的外角的性质证得∠DAB=∠EDC，则易证△ABD∽△DCE，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等即可求解． 解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，AB=BC， ∴CD=BC﹣BD=9﹣3=6， ∴∠BAD+∠ADB=120°， ∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°， ∴∠DAB=∠EDC， 又∵∠B=∠C=60°， ∴△ABD∽△DCE， 则即
， ，
解得：CE=2，
∴AE=AC﹣CE=9﹣2=7， 故选D．
考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质
26．（2015秋?杭州校级月考）如图，在△ABC中，D是BC上一点，∠1+∠2+∠3=180°，=，则
=（ ）
A． B． C．
D．
【来源】2016届浙江省杭州市朝晖中学等六校九年级上学期12月联考数学试卷（带解析） 【答案】A 【解析】
试题分析：由已知条件和三角形内角和定理可证明∠DAC=∠1，进而可得△CAD∽△CBA，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可求出AD：AB的值． 解：
∵∠2+∠3+∠DAC=180°，∠1+∠2+∠3=180°， ∴∠DAC=∠1， ∴△CAD∽△CBA，
，
∵
=，
∴，
∴CD=BC， ∴AC=BC， ∴BC=2AC， ∴故选A．
9．在正方形ABCD中，点E为AD中点，DF=CD，则下列说法：（1）BE⊥EF；（2）图中有3
，
2
2
对相似三角形；（3）E到BF的距离为AB；（4）=．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【来源】2016届江苏省泰州市白马中学九年级上学期10月质检数学试卷（带解析） 【答案】B 【解析】
试题分析：根据正方形的性质得到AD=AB=BC=CD，∠A=∠ABC=C=∠D=90°，由于点E为AD中点，DF=CD，于是得到
=2，推出△ABE∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠ABE=
∠DEF，根据平角的定义得到∠BEF=90°，于是求得BE⊥EF；故①正确；根据相似三角形的性质得到
，等量代换得到
，推出△ABE∽△BEF，于是得到△ABE∽△BEF∽△
DEF，即可得到图中有3对相似三角形；故②正确；根据相似三角形的性质得到∠ABE=∠EBF，根据角平分线的性质得到E到BF的距离=AE，于是得到E到BF的距离为AB；故③正确；设DF=1，则AE=DE=2，AB=BC=CD=4，由勾股定理得到BE=
=2
，
EF=故④错误．
=，求得S△BEF=BE?EF=5，S△BCF=BC?CF==6于是得到=，