第十三讲 反比例函数
⑴理解反比例函数的概念和性质，会用待定系数法求反比例函数的解析式。 课程目标 ⑵树立数形结合的数学思想，能完成解析式和图像位置、性质之间的转化。 ⑶综合运用多种数学思想，逐步形成数学应用和建模的意识。 ⑴掌握反比例函数的概念及性质，确定反比例函数的解析式。 课程重点 ⑵理解函数图像的含义，学习从图像中获取信息解决问题的能力。 ⑶能运用反比例函数的知识，解决实际应用的问题。 ⑴掌握反比例函数图像的几何意义，渗透数形结合的数学思想。 课程难点 ⑵运用类比和转化思想，解决实际问题及代几综合题。 反比例函数是八年级下的内容，经常与一次函数结合考查，也是中考出题的热点篇章。本身蕴含诸多数学思想：方程思想、数形结合思想、分类讨论思教学方法建议 想、数学建模思想等等。本讲中的每道例题及搭配课堂训练题都是一个考点的小专题。限于课堂容量，部分简单及非典型题将在课后作业中出现，建议教师根据学生情况选择性讲授作为补充。 A类 选材程度及数量 B类 C类 （ 3 ）道 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 2 ）道 （ 10 ）道 （ 10 ）道 课堂精讲例题 （ 2 ）道 搭配课堂训练题 （ 2 ）道 课后作业 （ 10 ）道 第一部分 知识梳理
一、反比例函数的解析式
1．反比例函数的概念
一般地，函数y??1k（k是常数，k?0）叫做反比例函数。反比例函数的解析式也可以x写成y?kx的形式。自变量x的取值范围是x?0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数。
2．反比例函数解析式的确定 由于在反比例函数y?k中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图像上的x一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
二、反比例函数的图像及性质
1．反比例函数的图象
反比例函数的图象是双曲线，有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x?0，函数y?0，所以，它的图象与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
2．反比例函数的性质 反比例函数 k的符号 k>0 y 图像 O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； 性质 ②当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限。在每个象限内，y随x 的增大而减小。 ①y?y?k(k?0) xk<0 y O x ①x的取值范围是x?0， y的取值范围是y?0； ②当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限。在每个象限内，y随x 的增大而增大。 k(k?0)的图象是轴对称图形，对称轴为y??x(k＞0)或 xy?x(k＜0) 对称性 ②y?③y?k(k?0)的图象是中心对称图形，对称中心为原点（0，0）； xkk和y??(k≠0)在同一坐标系中的图象关于x轴对称， xx也关于y轴对称． 3．反比例函数中反比例系数的几何意义
k(k≠0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线段，所得矩形(如图)面积为k。 xk②过双曲线y?(k≠0) 上任意一点作任一坐标轴的垂线段，连接该点和原点，所得三
x①过双曲线y?角形（如图）的面积为 ③双曲线y?k2． k(k≠0) 同一支上任意两点P1、P2与原点组成的 三角形（如图）的面积x=直角梯形P1P2Q2Q1的面积． PBOyACQ x第二部分 例题与解题思路方法归纳 【例题1】 已知函数y??m?1?x是（ ） A．2 B．﹣2 C．±2
D．?m2?5是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则m的值
1 2〖难度分级〗A类 〖试题来源〗2010年凉山州中考数学试题 〖选题意图〗对于反比例函数y?1k(k?0)。由于?x?1，所以反比例函数也可以写成
xx（1）ky?x?1（k是常数，k≠0）的形式，有时也以xy=k（k是常数，k≠0）的形式出现。＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．本题需要理解好反比例函数定义中的系数和指数，同时需要掌握反比例函数的性质，这样才能防止漏解或多解。
〖解题思路〗根据反比例函数的定义m﹣5=﹣1，又图象在第二、四象限，所以m+1＜0，两式联立方程组求解即可．
〖参考答案〗解：∵函数y??m?1?xm2?52
是反比例函数，且图象在第二、四象限内，
?m2?5??1∴?，解得m=±2且m＜﹣1，∴m=﹣2．故选B． ?m?1＜0
【课堂训练题】
1．（2000?甘肃）已知y=y1+y2，y1与x成正比例，y2与x﹣2成反比例，且当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5．求y与x的函数关系式． 〖难度分级〗A类
〖参考答案〗解：设y1=k1x（k1≠0），y2=错误！未找到引用源。 ∴y=k1x+错误！未找到引用源。 ∵当x=1时，y=﹣1；当x=3时，y=5， ∴??k1?k2??1?k1?1，∴?。
?3k1?k2?5?k2?22。 x?2k1k2k1k与y?2，如果存在函数y?（k1k2＞0）则称函数
xxx∴y?x?2．定义：已知反比例函数y?y?k1k2x为这两个函数的中和函数。
（1）试写出一对函数，使得它的中和函数为y?y随x的增大而增大。 （2）函数y?求当y?
2
，并且其中一个函数满足：当x＜0时，x
?3?12k和y?的中和函数y?的图象和函数y=2x的图象相交于两点，试xxx
k
的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围。 x
〖难度分级〗B类
〖参考答案〗解：（1）∵试写出一对函数，使得它的中和函数为错误！未找到引用源。， 并且其中一个函数满足：当x＜0时，y随x的增大而增大．
∴答案不唯一，如错误！未找到引用源。与错误！未找到引用源。等； y=
?3 x（2）∵错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。的中和函数错误！未找到引用源。，
6??y?联立方程组?x，
??y?2x
解之得两个函数图象的交点坐标为（3，23）（?3，?23），结合图象得到当y?的函数值大于y=2x的函数值时x的取值范围是x＜?3或0＜x＜3． 【例题2】如图所示是反比例函数y?kx2n?4的图象的一支，根据图象回答下列问题： x（1）图象的另一支在哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若函数图象经过点（3，1），求n的值；
（3）在这个函数图象的某一支上任取点A（a1，b1）和点B（a2，b2），如果a1＜a2，试比较b1和b2的大小．
〖难度分级〗B类
〖试题来源〗2010年肇庆市中考数学试题
〖选题意图〗本题主要考查反比例函数图象的性质和待定系数法求函数解析式的方法，需要熟练掌握．
〖解题思路〗（1）根据反比例函数图象的性质，这一支位于第一象限，另一支一定位于第三象限；
（2）把点的坐标代入反比例函数求出n值，即可求出函数解析式；
（3）根据反比例函数图象的性质，当k＞0时，在每个象限内，函数值y随x增大而减小。 〖参考答案〗解：（1）图象的另一支在第三象限．由图象可知，2n﹣4＞0，解得：n＞2 （2）将点（3，1）代入y?（3）∵2n﹣4＞0，
∴在这个函数图象的任一支上，y随x增大而减小， ∴当a1＜a2时，b1＞b2． 【课堂训练题】 1．如图是反比例函数y?2n?42n?4得：1?，解得：n=错误！未找到引用源。； x3m?5的图象的一支． x（1）求m的取值范围，并在图中画出另一支的图象；