泰山学院本科毕业论文（设计）
一种情况是当基圆直径小于齿根圆直径时，齿廓曲线全部由渐开线构成；另一种情况是当基圆直径大于齿根圆直径时，由渐开线与齿根过渡曲线的桥接来构成齿廓曲线，齿数是以上两种情况的直接判断。目前在标准斜齿轮建模中，两种情况下的分界齿数并未被明确给出，有些以直齿轮推导出的41个齿为分界齿数来实现建模，这显然是不正确的。对于标准渐开线斜齿圆柱齿轮，我们可做如下推导：
db?df?dcosat?d?2hf?mnz?1?cosat?/cos??2?1.25mn
z?2.5?cos?/?1?cosat?tanat?tan20?/cos? 公式1
斜齿圆柱齿轮的分界齿数与其螺旋角? 有关，?通常在8°～20°之间选择[10]，根据公式1可得表1的分界齿数：
表1斜齿轮分界齿数
螺旋角? 分界齿数
8～9°
40
10～11°
39
12～14°
38
15～16°
37
17°
36
18～19°
35
20°
34
?Z
在一般的作图环境下，齿轮的齿廓曲线是被UG表达式生成的渐开线与草图环
境中生成的齿顶圆和齿根圆通过修剪曲线命令来实现的[4-[7]，该齿廓曲线在实现参数变化时，会出现很多问题，如曲线不对称和参数丢失等。为了避免这些问题的出现，应对渐开线生成时的起始角度和终止角度加以定量的控制。 根据渐开线方程：
?
xt?rbcosu?rbusinuyt?rbsinu?rbucosuu??1?t?a?tbt??0~1?可推导出渐开线的齿顶终止角度，即t=1时u=b的大小： xt2?yt2?rb2(1?u2)?ra2?u2?ra2/rb2?1由齿顶的压力角aa?arccos(rb/ra) 得：tanaa??1?cosaa?/cosaa?r/r?12222a2b
所以b?u?tanaa?180?/? 6
?换算为角度单位?泰山学院本科毕业论文（设计）
公式2 同理，我们可以控制渐开线起始角。为了避免对渐开线的修剪，由UG表达式生成渐开线以后，我们可以使用圆心为原点的圆弧命令来连接两渐开线的端点，即可生成封闭的齿廓曲线。
2.2.1前、后端面齿廓曲线的生成
想在“自由形式特征”下实现“扫掠”，那么至少需要两组封闭的刨面线串才
可进行。要使用扫掠成型法实现齿轮的精确建模，就需要先获得斜齿轮前、后端面齿廓曲线。如图1所示，对称渐开线1、2构成前端面. 齿廓，3、4构成后端面齿廓，使用“变换/镜像”命令生成对称渐开线，是无法实现参数化的，因为变换是非参数化指令[11]。所以我们想实现齿轮前、后端面对称渐开线的生成，就使用点关于直线对称的坐标计算公式推算即可。
4?1??1?2321 图1前后端面对称渐开线
图1中，渐开线1、2关于y?tan??x对称，??360?/(4?z)?invat，渐开线函数invat?tanat?180/??at，at为端面压力角；渐开线2、3关于y?tan?1?x对称，?1????1/2；渐开线3、4关于y?tan?2?x对称，?2????1，?1为斜齿轮轮齿前、后端面因螺旋旋转的角度，?1?h?360?/p，h为齿宽，p是螺旋齿的螺距p??d/tan?，d为分度圆直径，?为分度圆螺旋角，因斜齿轮左右旋使用?的?表示，所以?应取绝对值。
渐开线1的方程为：（因为所有渐开线均在oxy平面内生成，所以方程zt均为
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零）则渐开线2、3、4的方程为：
?
xt1?rbcosu?rbusinuyt1?rbsinu?rbucosuxt2?xt1?2tan???yt1?tan??xt1?/1?tan2?yt2?yt1?2??yt1?tan??xt1?/1?tan2? y?y?2?y?tan??x/1?tan2?t3t2
2x?x?2tan??y?tan??x/1?tan?2??t4t32t32t3
yt4?yt3?2?yt3?tan?2?xt3/1?tan?2 公式3
沿Z轴方向、以齿宽h为偏置距离建立基准平面，然后将渐开线3、4构成的齿廓投影到建立好的基准平面上，即可得到斜齿轮真正的后端面齿廓曲线。
??????1?xt3?xt2?2tan?1??yt2?tan?1?xt2?/1?tan2?1?t21t2??????????2?2.2.2齿根过渡曲线的建立
被展成法加工的db>df的斜齿圆柱齿轮，基圆与齿根圆之间的齿廓曲线是齿根过渡曲线，是由刀具的圆角部分切出的。齿轮啮合过程中齿根过渡曲线虽没有太大的贡献，但对齿轮的强度，尤其是弯曲强度却有着重要的影响[12]。机械工业生产中，常见的齿轮齿根过渡曲线有五种，在一些文章中，有的以半径为0.38m的圆弧代替，有的以直线代替，有些根本就没有提及，但是这样建立的齿轮实体模型都是粗糙的，由此造成后续的设计误差将是非常明显的,因此斜齿轮参数化精确建模必须绘制齿根过渡曲线[13]。
齿根过渡曲线方程[14]：（齿根过渡曲线在oxy平面内，方程zt均为零）
?
xt?x1sin??y1cos??r??sin??cos??yt?x1cos??y1sin??r??cos??sin??其中：刀具圆角坐标：
?x1?r0cosvy1?r0(1?sinv)?hacmn 8
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过渡曲线方程变量：v?(1?t)an
r0为齿条刀具圆角半径，r0
hac刀具齿顶高系数，hac
r为节圆半径。
?90t?0.3mn??hacmn?r0?/?rtanv? ?1.25 刀具坐标与齿轮坐标夹角：??
过渡曲线c渐开线C
图2 过渡曲线的生成
图2中按此方程生成的过渡曲线与渐开线并不相连，要保证两曲线在C点相连接就需要坐标旋转，此时C点的坐标为，t=0即v=an 时的xt，yt，C点的坐标：
?x2?r0cosany2?r0(1?sinan)?hacmnhacmn?r0?2?rtanan
渐开线的C点半径应与过渡曲线的C点半径相等，rc?xc2?yc2，按照公式2，渐开线的起始角度应该是a?tanac?180?/?，ac?arccos(，所以坐标旋转角rb/rc)度：
?4?invac?arctan(yc/xc)??xc?x2sin?2?y2cos?2?r??2sin?2?cos?2?yc?x2cos?2?y2sin?2?r??2cos?2?sin?2?坐标旋转后齿根过渡曲线方程：
xt5?xtcos?4?ytsin?4 yt5?xtsin?4?ytcos?4
通过坐标的旋转，保证了图3所示两曲线在C点相连接，由于实际与理论存在有误差，在C点将出现断点，所以我们要可用“桥接曲线”命令来实现其连续。
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图 3 曲线的连接
根据标准斜齿圆柱齿轮的前、后端面过渡曲线的对称性，再按照公式3即可得出前、后两端面的其他过渡曲线方程：
xt6?xt5?2tan???yt5?tan??xt5?/1?tan2? yt6?yt5?2??yt5?tan??xt5?/??1?tan2??? xt7?xt6?2tan?1??yt6?tan?1?xt6?/1?tan2?1 ??yt7?yt6?2??yt6?tan?1?xt6?/??1?tan2?1??
?xt8?xt7?2tan?2??yt7?tan?2?xt7?/1?tan2?2yt8?yt7?2??yt7?tan?2?xt7?/??1?tan2? 2??
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公式4