第六章 第二节 数列的应用
第六章 数列
第一部分 五年高考体题荟萃
第二节 数列的应用
课堂练习
一、选择题
1.已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5?a2n?5?22n(n?3)，则当n?1时，
log2a1?log2a3???log2a2n?1?
A. n(2n?1) B. (n?1)2 C. n2 D. (n?1)2 答案 C
2.设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若
7383S6S3=3 ，则
S9S6 =
A. 2 B. 【答案】B
C. D.3
3.等比数列?an?的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=( ) A.7 B.8 C.15 D.16 【答案】 C
4.设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{
5?12}，[
5?12],
5?12
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B
5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
1
他们研究过图1中的1，3，6，10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16?这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C
6.已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示?an?的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 A.21 B.20 C.19 D. 18 【答案】 B 7.数列{an}的通项an?n(cos22n?3?sin2n?3)，其前n项和为Sn，则S30为
A．470 B．490 C．495 D．510 【答案】 A
8.等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B 二、填空题
9.设等比数列{an}的公比q?答案 15
10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，
2
12，前n项和为Sn，则
S4a4? ．
T16T12成等比数
列． 答案：
T8T12,T4T8
11.已知数列{an}满足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N?,则a2009?________；
a2014=_________.
答案 1，0
12.设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,?)，若数列?bn?有连续四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= . 答案 -9
13.在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?____________. 答案:13.
?an,当an为偶数时，?若a6＝1，??2?3a?1,当a为奇数时。n?n14.已知数列?an?满足：a＝m（m为正整数），an?11则m所有可能的取值为__________。 答案 4 5 32
15.等差数列{an}前n项和为Sn。已知am?1+am?1-a答案10
16.设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则an? . 答案:2n
17.设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则lim答案：1
Snn22m=0，S2m?1=38,则m=_______
n??? .
18.等比数列{an}的公比q?0, 已知a2=1，an?2?an?1?6an，则{an}的前4项和S4= 答案
152
19.将正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）个全等的小正三角形（图2，图3分别给出了n=2,3的情形），在每个三角形的顶点各放置一个数，使位于⊿ABC的三遍及平行于某边的任一直线上的数（当数的个数不少于3时）都分别一次成等差数列，若顶点A ,B ,C处的三个数互
3
不相同且和为1,记所有顶点上的数之和为f(n)，则有f(2)=2，f(3)=
16103，?，f(n)=
(n+1)(n+2)
答案
101,(n?1)(n?2) 36解析 当n=3时，如图所示分别设各顶点的数用小写字母表示，即由条件知
a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a
x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z2 6g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2
即g?13而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1?12?13?103
进一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三个数，f(2)中 有6个数，f(3)中共有10个数相加 ，f(4)中有15个数相加?.，若f(n?1)中有an?1(n?1)个数相加，可得f(n)中有(an?1?n?1)个数相加，且由
f(1)?1?33,f(2)?63?3?333?f(1)?33,f(3)?103?f(2)?43,f(4)?5?f(3)?53,...
可得f(n)?f(n?1)?f(n)?f(n?1)?n?1333n?1,所以
n?13?n3?...?n?13?n3?n?13?33?f(1)
?f(n?2)?23?13?16=
n?13?n3?n?13??(n?1)(n?2)
20.设a1?2，an?1?2an?1，bn?an?2an?1，n?N，则数列?bn?的通项公式
*bn= ．
答案 2n+1
4
三、解答题 21.已知点（1，
13）是函数f(x)?ax(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}的前
n项和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－
Sn?1=
Sn+Sn?1（n?2）.
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{
1bnbn?1}前n项和为Tn，问Tn>
10002009的最小正整数n是多少?
?1?解（1）Qf?1??a?,?f?x???? 3?3?a1?f?1??c?12?c ,a2????, f2?c?f1?c???????????392271xa3???f?3??c?????f?2??c????22 . 4又数列?an?成等比数列，a1?aa3?81??2?1?c ，所以 c?1； 233?27n?12?1?又公比q??，所以an????a133?3?QSn?Sn?1?a21?1?*??2?? n?N ；
?3?n?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1??Sn?Sn?1 ?n?2?
又bn?0,Sn?0, ?数列
Sn?Sn?1?1；
2?Sn构成一个首相为1公差为1的等差数列，Sn?1??n?1??1?n ， Sn?n
2?2当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；
?bn?2n?1(n?N)；
*（2）Tn?1b1b2?1b2b3?1b3b4?L?1bnbn?1?11?3?13?5?15?7?K?1(2n?1)??2n?1?
?1?1?1?11?1?11?1?11?1??????K?????????? 2?3?2?35?2?57?2?2n?12n?1?5