且满足＝
2bnbnSN?S1Sn2n1=（n≥2）.
(Ⅰ)证明数列｛｝成等差数列，并求数列｛bn｝的通项公式；
（Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当a81??491时，求上表中第k(k≥3)行所有项和的和.
12.已知An(an，bn)（n?N*）是曲线y?ex上的点，a1?a，Sn是数列{an}的前n项和，
3，，4?． 且满足Sn2?3n2an?Sn2?1，an?0，n?2，?b?（I）证明：数列?n?2?（n≤2）是常数数列；
?bn?（II）确定a的取值集合M，使a?M时，数列{an}是单调递增数列； （III）证明：当a?M时，弦AnAn?1（n?N*）的斜率随n单调递增
222解：（I）当n≥2时，由已知得Sn?Sn?1?3nan．
2因为an?Sn?Sn?1?0，所以Sn?Sn?1?3n． ?? ①
2于是Sn?1?Sn?3(n?1)． ??②
由②－①得an?1?an?6n?3． ?? ③ 于是an?2?an?1?6n?9． ?? ④ 由④－③得an?2?an?6， ?? ⑤
bn?2bnean?2anan?2?an所以?e?e?b?6?e，即数列?n?2?(n≥2)是常数数列．
?bn?（II）由①有S2?S1?12，所以a2?12?2a．由③有a3?a2?15，a4?a3?21，所以
a3?3?2a，a4?18?2a．
而 ⑤表明：数列{a2k}和{a2k?1}分别是以a2，a3为首项，6为公差的等差数列， 所以a2k?a2?6(k?1)，a2k?1?a3?6(k?1)，a2k?2?a4?6(k?1)(k?N*)，
31
数列{an}是单调递增数列?a1?a2且a2k?a2k?1?a2k?2对任意的k?N*成立．
?a1?a2且a2?6(k?1)?a3?6(k?1)?a4?6(k?1) ?a1?a2?a3?a4?a?12?2a?3?2a?18?2a???9415??． 4?bn?1?bnan?1?anx94?a?154．
即所求a的取值集合是M??a?a?（III）解法一：弦AnAn?1的斜率为kn?xx0?ean?1?eanan?1?anx
任取x0，设函数f(x)?e?ex?x0x0，则f(x)?e(x?x0)?(e?e0)(x?x0)2x
记g(x)?ex(x?x0)?(ex?e)，则g?(x)?ex(x?x0)?ex?ex?ex(x?x0)，
??)上为增函数， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(x0，当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(??，x0)上为减函数，
??)上所以x?x0时，g(x)?g(x0)?0，从而f?`(x)?0，所以f(x)在(??，x0)和(x0，都是增函数．
由（II）知，a?M时，数列{an}单调递增， 取x0?an，因为an?an?1?an?2，所以kn?ean?1?eanan?1?anean?1?ean?2?eanan?2?anean．
取x0?an?2，因为an?an?1?an?2，所以kn?1??ean?2an?1?an?2??ean?2an?an?2．
所以kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增． 解法二：设函数f(x)?增函数， 所以kn?eane?exan?1x?an?1??)上都是，同解法一得，f(x)在(??，an?1)和(an?1，?ean?1an?an?1?lim?n→an?1e?exan?1x?an?1?ean?1，kn?1?ean?2?ean?1an?2?an?1?lim?e?exan?1n→an?1x?an?1?ean?1．
故kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．
32
13.已知数列{an}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0 的两个根，且a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，?)．
(I)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n． (I)解：方程x2?(3k?2k)x?3k?2k?0的两个根为x1?3k, x2?2k． 当k＝1时，x1?3,x2?2，所以a1?2； 当k＝2时，x1?6,x2?4，所以a3?4； 当k＝3时，x1?9,x2?8，所以a5?8； 当k＝4时，x1?12,x2?16，所以a7?12；
n因为n≥4时，2n?3n，所以a2n?2 (n?4)
S2n?a1?a2???a2n?(3?6???3n)?(2?2???2)＝（Ⅱ）
2n3n?3n22?2n?1 ?2．
14.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,u）（u,N +），其中为正实数. （Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，记an=lg列｛xn｝的通项公式；
（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3. 解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力． （Ⅰ）由题可得f所以曲线y?'(x)?2x．
xn?2xn?2，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数
f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是：
y?f(xn)?f'(xn)(x?xn)．
即y?(x2n?4)?2xn(x?xn)．
33
令y?0，得?(x即x2n2n?4)?2xn(xn?1?xn)．
?4?2xnxn?1．
显然xn?0，∴xn?1?xn2?2xn．
xn2(xn?2)2（Ⅱ）由xn2，知，同理
xn?1?2?xxn?1?2?2?x?2?nn2x(xn?2)n?1?2?2x．
n 故xn?1?2x?(xn?2x)2．
n?1?2n?2从而lgxn?1?2x?2lgxn?22an．所以，数列n?1?2xn?2，即an?1?故an?2n?1a?1x1?21?2nlgx?2n?1lg3．
1?2即lgxn?2x?2n?1lg3．
n?2从而
xn?2x?32n?1 n?22n?1所以x?1)n?2(332n?1?1
（Ⅲ）由（Ⅱ）知x?2(32n?1?1)n32n?1?1，
∴bn?x4n?2?32n?1?0
?1∴
b2n?1n?11b?3?1?11n32n??132n?1?132n?1?321?1?13
当n?1时，显然T1?b1?2?3． 当n?1时，b13b121n?1n?n?1?(3)bn?2???(3)b1 34
2xn{an}成等比数列．
∴Tn?b1??b1?b2???bn 11n?1b1???()b1 331nb1[1?()]3 ?11?31n?3?3?()?3．
3 综上，Tn?3(n?N*)．
15.自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn2成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为 cxn,因此xn?1?xn?axn?bxn?cxn,n?N*.(*)即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**)22*
*
（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1? 因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且x1? （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0 35 a?bc. a?bc时，每年年初鱼群的总量保持不变.