下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①当n=1时，结论显然成立. ②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)2+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2).
综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1.
补充习题一
一、选择题
1.已知函数y?f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?1，且对任意的实数x,y?R，等式f(x)f(y)?f(x?y)成立．若数列{an}满足a1?f(0)，且
f(an?1)?1f(?2?an)(n?N*)，则a2009的值为( )
A． 4016 B．4017 C．4018 D．4019 答案 B
2.在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（ ）
A．55
B．40
C．35
D．70
答案 B
3. 等差数列?an?中，Sn是其前n项和，a1?2008，S20072007?S20052005?2，则S2008的值为（ ）
?A??2006 ?B?2006 ?C??2008 ?D?2008 答案 C
4.等差数列{an}中，a10?0，a11?0，且|a10|?|a11|，Sn为其前n项之和，则（ ） A．S1,S2,?,S10都小于零，S11,S12,?都大于零 B．S1,S2,?,S5都小于零，S6,S7,?都大于零 C．S1,S2,?,S19都小于零，S20,S21,?都大于零
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D．S1,S2,?,S20都小于零，S21,S22,?都大于零 答案 C
5.数列{an}满足a1?1,an?11a2n?4?1,记Sn?a1?a2???an,若S2n?1?Sn?222m30对
任意n?N*恒成立，则正整数m的最小值 A．10 答案：A.
6.数列{an}满足a1+ 3·a2+ 3·a3+?+ 3·an=A C
n3n2
n-1
（ ） D．7
B．9 C．8
n2，则an=
B
112n
12?3n?1 D
3?2n?1
答案：C.
7.已知数列{an}满足an+1=an–an–1（n≥2），a1=a，a2=b，记Sn=a1+a2+a3+?+an，则下列结论正确的是
A．a2008= – a，S2008=2b – a B．a2008= – b，S2008=2b – a C．a2008= – b，S2008=b – a D．a2008= – a，S2008=b – a 答案：A. 二、填空题
8.对于集合N={1, 2, 3,?, n}的每一个非空集，定义一个“交替和”如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大数开始交替地减、加后继的数．例如集合{1, 2, 4, 6, 9}的交替和是9–6＋4–2＋1＝6，集合{5}的交替和为5．当集合N中的n =2时，集合N={1, 2}的所有非空子集为{1}，{2}，{1, 2}，则它的“交替和”的总和S2=1+2+(2–1)=4，则当
n?3时，S3= ______________ ；根据S2、S3、S4，猜想集合N ={1, 2, 3,?, n}的每
一个非空子集的“交替和”的总和Sn=__________. 答案 12 , n?2n?1
9.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N* 都有Sn=23an?13，且1 答案 －1,4 37 10.如图，以O?0,0?、A?1,0?为顶点作正?OAP1， 再以P1和P1A的中点B为顶点作正P1BP2，再 以P2和P2B的中点C为顶点作正P2CP3，?， 如此继续下去。有如下结论： ①所作的正三角形的边长构成公比为 12的等比数列； ②每一个正三角形都有一个顶点在直线AP2（x?1）上； ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点P6的坐标是???63213,6464??； ???④第n个正三角形的不在第n?1个正三角形边上的顶点Pn的横坐标是xn，则limxn?1. n??其中正确结论的序号是_____________.（把你认为正确结论的序号都填上） ．答案 ①②③④ n211.设等比数列{an}的前n项和Sn?2?a，等差数列{bn}的前n项和Tn?n?2n?b，则 a＋b＝ ． 答案 -1 12.已知方程?x2?mx?2??x2?nx?2??0的四个根组成一个首项为|m-n|= 。 答案： 3212的等比数列，则 . 三、解答题 13.某企业2008年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不能进行技术改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年（今年为第一年）的利润为500(1+ 12n)万元（n为正整数）. （Ⅰ）设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式； （Ⅱ）依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不 38 进行技术改造的累计纯利润？ 解: (Ⅰ)依题意知，数列An是一个以500为首项，－20为公差的等差数列，所以 n(n?1)22An?480n?Bn?500(1?12?(?20)?490n?10n， 1212n)?500(1?1)???500(1?2)?600＝500n?500(?21122???12n)?600 1n[1?()]50022?600＝500n??100 ＝500n?500?n121?2 (Ⅱ)依题意得，Bn?An，即500n?可化简得 502n5002n?100?490n?10n， 2?n?n?10， 502n2?可设f(n)?，g(n)?n2?n?10 又?n?N?，?可设f(n)是减函数，g(n)是增函数，又 f(3)?508?g(3)?2,f(4)?5016?g(4)?8 则n?4时不等式成立，即4年 14.已知函数F?x??3x?2?1?,?x??. 2x?1?2???2008??...?F???; ??2009?（I）求F???2?F???2009??2009?1（II）已知数列?an?满足a1?2,an?1?F?an?,求数列?an?的通项公式; (Ⅲ) 求证:a1a2a3...an?2n?1. 3x?22x?13?1?x??22?1?x??1解:(?)因为F?x??F?1?x????3 所以设S=F???2??2008??F?...?F?????;..........（1） 200920092009????????2008??2007??1??F?...?F????????.(2) ?2009??2009??2009?39 1 S=F?(1)+(2)得: ??12S??F???2009??2008?F????2009????2????F?????2009??2007?F????2009??2008???...??F???????2009??1?F????2009?????? =3?2008?6024, 所以S=3012 (??)由an?1?F?an?两边同减去1,得 an?1?1?3an?22an?1?1?an?12an?1 所以 1an?1?1?2an?1an?1?2?an?1??1an?1?2?1an?1, 所以 1an?11?1?1??2,??1为首项的等差数列, ?是以2为公差以 a?1?1an?1a?11?n?1?2??n?1??2?2n?1?an?1?22所以 12n?1an?1?2n2n?1 ?????因为?2n? 所以 2n??2n??1??2n?1??2n?1? ?2n?12n?21?3452n2n?1,?,...? 2342n?12n22n?1所以a1a2a3...an??a1a2a3...an??22442n2n???......? 11332n?12n?1>23452n2n?1???......??12342n?12nk2n?1 15.过点P（1，0）作曲线C:y?x(x?(0,??),k?N,k?1)的切线，切点为M1，设M1在x轴上的投影是点P1。又过点P1作曲线C的切线，切点为M2，设M2在x轴上的投影是点P2，?。依此下去，得到一系列点M1，M2?，Mn，?，设它们的横坐标a1，a2，?，an，?，构成数列为?an?。 （1）求证数列?an?是等比数列，并求其通项公式； （2）求证：an?1?nk?1?； ,求数列?bn?的前n项和Sn。 （3）当k?2时,令bn?nan40