2(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列{an}也是B-数列。
解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{an},则an?(?an?an?1?(?12)n?112)n?1.于是
?(?12)n?2?31n?2?(),n?2. 22|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|
=
31121n-1?1n?????1??（）???（）?=3??1?（）??3. 2?2222???12所以首项为1，公比为?的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题. 事实上设xn=1，n?N*，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n， |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n. 由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。
命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N*，有 |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?M,
即|xn?1|?|xn|???|x2|?M.于是xn?1?xn?xn?xn?1???x2?x1 ?xn?1?2xn?2xn?1???2x2?x1?2M?x1,
所以数列{xn}是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） (Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的n?N,有
? an?1?an?an?an?1???a2?a1?M. 因为an?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1 ?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?M?a1.
16
22记K?M?a1，则有an?an?(an?1?an)(an?1?an) ?1 ?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an.
222222因此an?an?an?an?1?...?a2?a1?2KM. ?12故数列?an?是B-数列.
32. 已知数列?xn}满足， x1＝12’xn＋1＝11?xn,n?N.
*???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；
（Ⅱ)证明：|xn?1-xn|≤证明（1）由x1?1212n?1()。 65及xn+1?11?xn得x2?23?x4?58，x4?1321
由x2?x4?x6猜想：数列?x2n?是递减数列 下面用数学归纳法证明：
（1）当n=1时，已证命题成立 （2）假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知x2k?0，那么x2k?2?x2k?4?x2k?x2k?2(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)11?x2k?1?11?x2k?3?x2k?3?x2k?1(1?x2k?1)(1?x2k?3)
=?0
即x2(k?1)?x2(k?1)?2
也就是说，当n=k+1时命题也成立，结合（1）和（2）知，命题成立 （2）当n=1时，xn?1?xn?x2?x1?16，结论成立
11?xn?15212当n?2时，易知0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?11?xn?1?
?(1?xn)(1?xn?1)?(1?)(1?xn?1)?2?xn?1?
?xn?1?xn?11?xn?11?xn?1?xn?xn?1(1?xn)(1?xn?1)17
?
222n-1xn?xn?1?（）xn?1?xn?2???（）x2?x1555212n-1?（）65 33.设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记
bn?4?an1?an(n?N)
*（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；
（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由； （III）记cn?b2n?b2有Tn?32n1?(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都
*；
14解（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1
?an?1?an?5an?1,即an?1an??14
14
14∴数列?an?是首项为a1??4?(?)，bn?n，公比为q??))n的等比数列，
1414∴an?(?14(n?N) ?????????????3分
n*1?(?（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。
4?(?1414))n证明：由（I）知bn?1?(?5(?4)2k?1?4?n5(?4)?1n
?b2k?1?b2k?8??1?5(?4)?2k?1?8?516?1k?2016?4k?8?15?16?40(16?1)(16?4)kkk?8.
∴当n为偶数时，设n?2m(m?N)
18
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k
∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4?5(?4)?1542nn得
cn?b2n?1?b2n?133?1?43542n?1?1?15?16nnn(16?1)(16?4)?15?16n2nn(16)?3?16?4?15?16(16)n2n?1516n又b1?3,b2?,?c2?，
当n?1时，T1?当n?2时，
32，
1Tn?43?25?(1162?1163???116n)?43?25?162[1?(1?11161)n?2]16694832 ??43?25?161?21?16 ?????????????14分
34.已知等差数列{an}的公差为d（d?0），等比数列{bn}的公比为q（q>1）。设
sn=a1b1+a2b2?..+ anbn,Tn=a1b1-a2b2+?..+(-1)n?1 anbn,n?N
?(I)
若a1=b1= 1，d=2，q=3，求 S3 的值；
2dq(1?q1?q22n(II)
若b1=1，证明（1-q）S2n-（1+q）T2n=
)，n?N；
?2，，...n的两个不同的排列， (Ⅲ) 若正数n满足2?n?q，设k1,k2,...,kn和l1,l2,...,ln是1，19
c1?ak1b1?ak2b2?...?aknbn， c2?al1b1?al2b2?...?alnbn 证明
c1?c2。
（Ⅰ）解：由题设，可得an?2n?1,bn?3n?1,n?N* 所以，S3?a1b1?a2b2?a3b3?1?1?3?3?5?9?55 （Ⅱ）证明：由题设可得bn?qn?1则
S2n?a1?a2q?a3q?.....?a2nq2322n?1, ①
2n?1T2n?a1?a2q?a3q?a4q?.....?a2nqS2n?T2n?2(a2q?a4q?...?a2nq32n?1, ②
)①
式减去②式，得
① 式加上②式，得
22n?2) ③ S2n?T2n?2(a1?a3q?....?a2n?1q② 式两边同乘q，得
32n?1) q(S2n?T2n)?2(a1q?a3q?....?a2n?1q所以，
(1?q)S2n?(1?q)T2n?(S2n?T2n)?q(S2n?T2n)
?2d(q?q?K?q32n?1)
?2dq(1?q1?q22n)2,n?N*
(Ⅲ)证明：c1?c2?(ak?al)b1?(ak?al)b2?K?(ak?al)bn
112nnn?1 ?(k1?l1)db1?(k2?l2)db1q?K?(kn?ln)db1q
因为d?0,b1?0,所以
c1?c2db1?(k1?l1)?(k2?l2)q?K?(kn?ln)qn?1
（1） 若kn?ln，取i=n
（2） 若kn?ln，取i满足ki?li且kj?lj,i?1?j?n
20