则由递推关系得ak?1?ak?342?m(m?1)?1是奇数。
根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 （II）（方法一）由an?1?an?14(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。
1?34另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1??1；若ak?3，则ak?1?3?342?3.
根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
a1?34222（方法二）由a2?2?a1,得a1?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。
an?1?an?an?34?an?1?342?(an?an?1)(an?an?1)4,
因为a1?0,an?1?an?34,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。
根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。 因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
a1?a,a2?b，28.各项均为正数的数列{an}，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都
有
am?an(1?am)(1?an)12?ap?aq(1?ap)(1?aq)45.
（1）当a?,b?时，求通项an;
1?an??.
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有
am?an(1?am)(1?an)??解：（1）由?ap?aq(1?ap)(1?aq).将a1?12得
a1?an(1?a1)(1?an)a2?an?1(1?a2)(1?an?1),a2?45代入化简得
an?2an?1?1an?1?2.
11
所以
1?an1?an?11?an?1?, 31?an?1}为等比数列，从而
故数列{1?an1?an13n1?an1?an?,即an?3?13?1nn.
可验证，an?3?13?1nn满足题设条件.
(2) 由题设
am?an(1?am)(1?an)?的值仅与m?n有关,记为bm?n,则
a?anbn?1?a1?an(1?a1)(1?an)(1?a)(1?an).
考察函数 f(x)?a?x(1?a)(1?x)(x?0),则在定义域上有
?1?1?a,??1f(x)?g(a)??,?2?a?1?a,?a?1a?10?a?1
*故对n?N， bn?1?g(a)恒成立.
又 b2n?2an(1?an)2?g(a), 12注意到0?g(a)?g(a),解上式得
1?g(a)?1?2g(a)g(a)11?g(a)?1?2g(a)??an?1?g(a)?1?2g(a)g(a),
取??1?g(a)?1?2g(a)g(a),即有
??an??.. 129.已知数列?an?的前n项和Sn??an?()2n?1?2（n为正整数）。
n（Ⅰ）令bn?2an，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式；
12
(Ⅱ）令cn?n?1nan，Tn?c1?c2?........?cn试比较Tn与
15n2n?1的大小，并予以证明。
12解（I）在Sn??an?()n?1?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?2n?1当n?2时，Sn?1??an?1?()n?2?2，?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()，
11221n?1nn?1?2an?an?1?(),即2an?2an?1?1.
2 ?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1. 又b1?2a1?1,?数列?bn?是首项和公差均为1的等差数列. 于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?(II)由（I）得cn?Tn?2?1n?1nnn2n.
1nan?(n?1)()，所以
212131n?3?()?4?()?K?(n?1)() 222211213141n?1Tn?2?()?3?()?4?()?K?(n?1)() 22222112131n1n?1Tn?1?()?()?K?()?(n?1)() 22222由①-②得
11n?1[1?()]1n?13n?32?1?4?(n?1)()??n?112221?
2?Tn?3?n?32nTn?5n2n?1?3?n?32n?5n2n?1?(n?3)(2?2n?1)2(2n?1)nnn
于是确定Tn与5n2n?12的大小关系等价于比较2与2n?1的大小
345由2?2?1?1;2?2?2?1;2?2?3?1;2?2?4?1;2?2?5;K 2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，n证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。
k?1k（2）假设n?k?1时2?2g2?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1
所以当n?k?1时猜想也成立
n综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1.
13
证法2：当n?3时
2?(1?1)?Cn?Cn?Cn?K?Cnnn012n?1?Cn?Cn?Cn?Cnn01n?1?Cn?2n?2?2n?1
n综上所述，当n?1,2时Tn?5n2n?1，当n?3时Tn?5n2n?1
30.设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记
bn?4?an1?an(n?N)。
*（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；
（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由； （III）记cn?b2n?b2有Tn?32n1?(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都
*；
14解（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1
?an?1?an?5an?1,即an?1an??14
14
14∴数列?an?是首项为a1??4?(?)，bn?n，公比为q??))n的等比数列，
1414∴an?(?14(n?N) ?????????????3分
n*1?(?（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。
4?(?1414))n证明：由（I）知bn?1?(?5(?4)2k?1?4?n5(?4)?1n
?b2k?1?b2k?8??1?5(?4)?2k?1?8?516?1k?2016?4k?8?15?16?40(16?1)(16?4)kkk?8.
∴当n为偶数时，设n?2m(m?N)
14
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N?)
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k ∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4?5(?4)?1542nn得
cn?b2n?1?b2n?133?1?43542n?1?1?15?16nnn(16?1)(16?4)?15?16n2nn(16)?3?16?4?15?16(16)n2n?1516n又b1?3,b2?,?c2?，
当n?1时，T1?当n?2时，
32，
1Tn?43?25?(1162?1163???116n)?43?25?162[1?(1?11161)n?2]16694832 ??43?25?161?21?16*31.对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N，恒有
un?1?un?un?un?1???u2?u1?M, 则称数列{un}为B?数列.
（Ⅰ）首项为1，公比为?12的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断： A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；
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