解得d?3或d??4（舍去）。因此d?3 又 S3?3a1?3d?15。解得a1?2 从而当n?1005时，
an?a1?(n?1)d?2?3(n?1)?3n?1
当1006?n?2009时，由a1,a2009,a2008,???,a1006是公比为d的等比数列得
an?a1d2009?(n?1)?a1d2010?n(1006?n?2009)
?3n?1,n?1005因此an?? 2009?n,1006?n?2009?2?3
22222222?an?1an?1(1?n?m),am?am?1a1,a1?ama2得 （II）由题意an, ① ?an?an?1an?1(1?n?m) ??am?am?1a1 ② ??a1?ama2 ③有①得a3?a2a3,a4?1a1,a5?1a2,a6?a1a2 ④
2由①，②，③得a1a2???an?(a1a2???an)，
故a1a2???an?1. ⑤ 又ar?3?ar?2ar?11ar?3?ar?1ar?1ar?1?1ar(1?r?m?3)，故有
ar?6??ar(1?r?m?6).⑥
下面反证法证明：m?6k
若不然，设m?6k?p,其中1?p?5
a1a2a1a2若取p?1即m?6k?1，则由⑥得am?a6k?1?a1，而由③得am?,故a1?,
得a2?1,由②得am?1?ama1,从而a6?a6k?am?1,而
26
a6?a1a2,故a1?a2?1,由④及⑥可推得an?1（1?n?m）与题设矛盾
同理若P=2，3，4，5均可得an?1（1?n?m）与题设矛盾,因此m?6k为6的倍数 由均值不等式得
a1?a2?a3?K?a6?(a1?1a1)?(a2?1a2)?(a2a1?a1a2)?6
由上面三组数内必有一组不相等（否则a1?a2?a3?1，从而a4?a5?K?am?1与题设矛盾），故等号不成立，从而a1?a2?a3?K?a6?6 又m?6k，由④和⑥得
a7?K?am?(a7?K?a12)?K?(a6k?5?K?a6k) ＝（k-1) (a1?K?a6) ＝（k-1) (a1?222222222
１a2２１a21＋a２?2＋a３?2１a2３)?６(k-1)因此由⑤得
a1?a2?a3?K?a6?a7?K?am?6?6(k?1)?6k?m?ma1a2a3Kam
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课后习题
一、选择题
1.在数列{an}中，a1?2， an?1?an?ln(1?1n)，则an?（ ）
A．2?lnn B．2?(n?1)lnn C．2?nlnn D．1?n?lnn 答案 A
2.数列{an}的前n项和为Sn，若an?A．1 答案 B
3.已知a，b，c，d成等比数列，且曲线y?x?2x?3的顶点是(b，c)，则ad等于（ ） Ａ．3 答案 B
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21n(n?1)，则S5等于（ ）
16 B．
56 C． D．
130
Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ．?2
????????????4．已知等差数列｛an｝的前n项和为Sn，若OB＝a1OA＋a200OC，且A、B、C三点共线
（该直线不过原点O），则S200＝（ ）
A．100 B. 101 C.200 D.201 答案 A
5. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( ) A. 4 C.6
B.5. D.7
答案 C 二、填空题
6.将全体正整数排成一个三角形数阵： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
． ． ． ． ． ． ．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ． 答案
n?n?622
7.观察下列等式：
n?i?1ni?12n?2121n,
?ii?1n2?131415n?321212n?2161413n,
?i?1ni?3n?4n?3n,
2?i?1i?4n?5n?4n?3130n,
28
n?i?1ni?51617n?61212n?551212n?4112n,
2?i?1i?6n?7n?6n?516n?3142n,
??????????????
n?i?1i?ak?1nkk?2?akn?ak?1nkk?1?ak?2nk?2?????a1n?a0, 1k?112可以推测，当x≥2（k?N*）时，ak?1?ak?2? . ,ak?,ak?1?
答案
k12 0
8.设{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x28x?3?0的两根，则
a2006?a2007?_____.
答案 18
9．在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,?堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆的乒乓球总数，则f(3)?_____；f(n)?_____（答案用n表示）.
答案 f(3)?10，f(n)?三、解答题
10.设函数f(x)?x?xlnx．数列?an?满足0?a1?1，an?1?f(an)． （Ⅰ）证明：函数f(x)在区间(0，1)是增函数； （Ⅱ）证明：an?an?1?1；
1)，整数k≥（Ⅲ）设b?(a1，a1?ba1lnbn(n?1)(n?2)6
．证明：ak?1?b．
（Ⅰ）证明：f(x)?x?xlnx，f'?x???lnx,当x??0,1?时，f'?x???lnx?0
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故函数f?x?在区间(0,1)上是增函数；
（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，0?a1?1，a1lna1?0，
a2?f(a1)?a1?a1lna1?a1
由函数f(x)在区间(0，1)是增函数，且函数f(x)在x?1处连续，则f(x)在区间(0，1]是增函数，a2?f(a1)?a1?a1lna1?1，即a1?a2?1成立；
（ⅱ）假设当x?k(k?N*)时，ak?ak?1?1成立，即0?a1≤ak?ak?1?1 那么当n?k?1时，由f(x)在区间(0，1]是增函数，0?a1≤ak?ak?1?1得
f(ak)?f(ak?1)?f(1).而an?1?f(an)，则ak?1?f(ak),ak?2?f(ak?1)，
ak?1?ak?2?1，也就是说当n?k?1时，an?an?1?1也成立；
根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n，an?an?1?1恒成立. （Ⅲ）证明：由f(x)?x?xlnx．an?1?f(an)可
ka?b?a?b?alna?a1?b??ailnai k?1kkki?11， 若存在某i≤k满足ai≤b，则由⑵知：ak?1?b?ai?b≥0
?b?a?b?alna2， 若对任意i≤k都有ai?b，则a k?1kkkkkk a?b?kalnb?a1?b??ailnai?a1?b??ailnb?a1?b?(?ai)lnb?11i?1i?1i?1?a?b?kalnb?a?b?(a?b)?0，即ak?1?b成立. 111111.将数列｛an｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a1 a2 a3
a4 a5 a6
a7 a8 a9 a10
??
记表中的第一列数a1，a2，a4，a7，?构成的数列为｛bn｝,b1=a1=1. Sn为数列｛bn｝的前n项和，
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