第四章 特殊矩阵
从前面的讨论可知，在有限维线性空间中，取定一个基后，线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系。因此，利用矩阵来研究线性变换十分方便，也非常重要。本章主要讨论几种特殊矩阵。
§4.1 单纯矩阵
从映射的角度看，n阶方阵A是从Rn?Rn的一个特殊的线性映射，称之为线性变换。即令T：x?Ax，这个变换有可能产生反射，平移，旋转等效果，使向量朝各个方向移动。但是通常会有某些特殊的向量，A对这些向量的作用很简单，只产生拉伸或压缩，即Ax??x，于是引出了特征值和特征向量的概念。 4.1.1 方阵的特征值与特征向量
定义1 设A?Cn?n，x是一个非零的n维向量，若存在?0?C，使得
Ax??0x
则称?0为矩阵A的（一个）特征值，x为A的属于?0的特征向量；称?E?A为
A的特征矩阵；?E?A为A的特征多项式；关于?的一元n次方程?E?A?0为A的特征方程；它的根为A的特征值（特征根）；以A的特征值?0代入方程
(?0E?A)x??所得到的非零解x?Cn为对应于?0的特征向量；A的所有特征值的全体称为A的谱。
注：（1）特征向量x??； （２）特征向量的几何意义： 假设?1?2,?2??1是A的2两个特征值，x1,x2分别是对应于?1,?2的特征向量。则
x2l1
x1
Axi??ixi∥xi，即Ax1?2x1是
Ax2??将x1拉伸了1倍。
1x2是2yAx1
x
O将x2沿反方向收缩了一半。并且易知l1上的任何向量在A的作用下都拉伸1倍。当?是复数时，也有
Ax2
图4-1 特征向量的几何意义
1
几何意义，在此不作介绍。
（3）A的特征值就是特征方程的解。特征方程在复数范围内恒有解，其解的个数为方程的次数（重根按重数计算），因此，n阶矩阵A在复数范围内有n个特征值。
以下给出线性代数中关于特征值与特征向量的一些性质。
（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。即α1,α2,?,αs分别是属于不同特征值?1,?2,?,?s的特征向量，则α1,α2,?,αs线性无关；
（2）设?是方阵A的特征值，?是A对应于?的特征向量，则
f(A)?a0E?a1A?a2A2???amAmf(?)?02a?1?的特征值是
mf(A)的对应于，??a?m2?a是???af???的特征向量；特别
的，kA,A2,Am,aA?bE的特征值分别为k?,?2,?m,a??b，特征向量为?；
（3）设?1，?2，?，?n是n阶方阵A的n个特征值，则
?1??2????n?a11?a22???ann（A的主对角线上元素和）=tr(A)；
?1?2??n?A；
（4）A可逆的充分必要条件是A的特征值均不为0； （5）若A与B相似，则A与B有相同的特征值。
定义2 设A?Cn?n，?i为A的特征值，称A的特征方程中?i的重根数mi为?i的代数重复度，?i对应的特征子空间V?i的维数ai为?i的几何重复度。
注：ai为属于特征值?i的线性无关的特征向量的个数。
定理1 设A?Cn?n，?i为A的特征值，则?i的几何重复度
ai=n-rank(λiEn?A)。
证明 由于V?i?{xAx??ix,x?Cn}，所以ai=dimVλi?dimN(?iEn?A)?
n-rank(?iEn?A)。
?1?11??,试求的谱和相异特征值的代数重复度与几何重24?2例1 设A??A?????3?35??复度。
2
??1解答 ?E?A??231?12????2????6?，故A的相异特征值为：??52??43?1?2,?2?6；所以，m1?2,m2?1，则矩阵A的谱为?2,6?。
?11?1???1，所以属于特征值2?2?22对应于?1?2，由rank(?1E?A)?rank?????33?3??的线性无关的特征向量的个数为n?rank(?1E?A)?3?1?2，即a1?2。
?51?1???2，所以属于特征值6?222对应于?2?6，由rank(?2E?A)?rank?????331??的线性无关的特征向量的个数为n?rank(?2E?A)?3?2?1，即a2?1；
?2?i02?2i??，试求的谱和相异特征值的代数重复度与几?1?i3i?1?i例2 设A??A????1?i01?2i??何重复度。
??2?i 解答 ?E?A?1?ii?102i?21?i????3i????3?，所以A的相异特??1?2i2??3i0征值为：?1?3i，m1?2；?2?3，m2?1，则矩阵A的谱为?3i,3?。
对于特征值?1?3i，a1?n?rank(?1En?A)?3?rank(3iE3?A)?3?1?2； 对于特征值?2?3，a2?n?rank(?2En?A)?3?rank(3E3?A)?3?2?1。 定理2 设A?Cn?n，?i为A的特征值，它的代数重复度与几何重复度分别是
mi与ai，则ai?mi。
证明 由ai是?i的几何重复度，所以A对应于?i有ai个线性无关的特征向量
?1,?2,?,?a，它们是特征子空间V?的一组基，可将其扩充为Cn的基
ii ?1,?2,?,?ai,?ai?1,?,?n
设P?[?1,?2,?,?ai,?ai?1,?,?n]，则有
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AP?A[?1,?2,?,?ai,?ai?1,?,?n] ? [?i?1,?i?2,?,?i?ai,A?ai?1,?,A?n]??i?? ?[?1,?2,?,?ai,?ai?1,?,?n]?????
?i??iO??????PB??Δ??其中O表示?n?ai??ai零矩阵，?表示ai??n?ai?矩阵，Δ?C(n?ai)?n(?ai)，
??i??B???????1?，因此有B?PAP，即，矩阵A与矩阵B相似，??????Δ???i??iO
det(?En?A)?det(?En?B?)?(??iai)det(?E?Δ。nia?由此可见，?i的几何重复度ai不大于特征多项式det(?En?A)中因子(???i)的次数，即?i的几何重复度ai不大于它的代数重复度mi。 4.1.2 单纯矩阵及其对角化
在所有的方阵中，对角矩阵的形式比较简单，处理起来较方便，例如求解矩阵方程Ax?b时，将矩阵A对角化后很容易得到方程的解。那么，方阵是否都可以通过相似变换将其变成对角阵，又需要什么条件，这是我们以下要讨论的问题。
定义3 设A?Cn?n，如果矩阵A与对角矩阵相似，则称A可对角化；可对角化的矩阵称为单纯矩阵。
?11??1?1??30??30??1例3 设A??，，则有，即。P?PAP?A~????????22??21??00??00?从而A可对角化。
定理3 设A?Cn?n，则A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
证明 必要性，设A可对角化，则存在可逆矩阵P，使得
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??1????2?1? PAP????????n??将P按列分块得P?[p1,p2,?,pn]，从而有
??1???1???????22??[p,p,?,p]?? AP?A[p1,p2,?,pn]?P?12n????????????n?n???因此
Api??ipi (i?1,2,?,n)
所以pi是A对应于特征值?i的特征向量，又由P可逆，所以p1,p2,?,pn线性无关，故A有n个线性无关的特征向量。
充分性，设p1,p2,?,pn是A的n个线性无关的特征向量，它们对应的特征值依次为?1,?2,?,?n，则有
Api??ipi (i?1,2,?,n)
令P?[p1,p2,?,pn]，易得P是一个可逆矩阵且有
??1????2? AP?A[p1,p2,?,pn]?[?1p1,?2p2,?,?npn]?[p1,p2,?,pn]???????n????1???1???????22?1?，?，因此有AP?P?即PAP??所以，矩阵A相???????????n??n???似与一个对角阵，则A可对角化。
推论 设P?1AP?diag[?1,?2,?,?n]，则?1,?2,?,?n为A的n个特征值，P的第i个列向量是A的对应于?i的特征向量（i?1,2,?,n）。
定理4 设A?Cn?n， 则A可对角化的充分必要条件是A的每一个特征值的代数重复度等于其几何重复度。
证明 设?1,?2,???为A的全部相异的特征值，mi,ai(i?1,2,??)分别为?i代
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