f(x)=f(x1,x2,?xn)=邋nnaijxixj
（4-1）
i=1j=1其中aij?C，且aij=aji（i=1,2,?,n,j=1,2,?,n），式（4-1）称为Hermite二次型。
轾a11a12?a1n犏犏a21a22?a2n若记A=犏，且A=AH，则Hermite二次型（式（4-1））
犏???犏犏an1an2?ann臌可改写成
f(x)=xHAx （4-2）
式（4-2）中的矩阵A称为Hermite二次型矩阵，并且称A的秩为Hermite二次 型的秩。
注：（1）A为H-阵，即一个Hermite二次型与一个H-阵相对应；
（2）Hermite二次型f(x)=xHAx是实数；
（3）作可逆线性变换x=Cy，则f(x)=xHAx=yH(CHAC)y=yHBy，B也是Hermite阵，这样f(x)就化为关于y的Hermite二次型；
（4）任何H-阵均酉相似于对角阵，所以可将（4-2）式的Hermite二次型化为只含有平方项的简单形式，为此有如下定理。
定理3 对于任何的Hermite二次型f(x)?xHAx ，存在酉变换 x?Uy，将其化为
f(x)??1y1y1??2y2y2????nynyn （4-3）
其中，?1,?2,?,?n为A的特征值，y??y1,y2,?yn??Cn。 证明 因为A为H-阵，则?U?Un?n , 使得
T UHAU?diag??1,?2,?,?n?
其中?1,?2,?,?n为实数，令x?Uy，则
f(x)?xHAx =(Uy)HAUy?yH(UHAU)y
?yHdiag??1,?2,?,?n?y??1y1??2y2????nyn ??1y1y1??2y2y2????nynyn。
16
222定义3 称式（4-3）为Hermite二次型的标准型。 注：式（4-3）也可以改写为
f(x)??1y1??2y2????nyn
222定理4 设H-阵A的秩rankA?r，且A的正惯性指数为p，则存在可逆的线性变换x?Cy，化Hermite二次型f(x)?xHAx 为
f(x)? y1?y2???yp?yp?1?yp?2???yr （4-4）
222222证明略。
注：式（4-4）称为Hermite二次型的规范标准型。 例1 试求酉 x?Uy，化Hermite二次型
f(x1,x2,x3)=2x1x1+ix1x2?ix1x2?x1x3?x1x3+ix2x3?ix2x3
为标准型。
?2i?1?解答 二次型矩阵为A????i0i?，则 ??i0???1????2?i1?E?A?i??i?????3????1?
1i?
得A的特征值为?1?0,?2?3,?3?1。
当?T1?0时，由Ax??，求得特征向量为?1??1,i,1?； 当?T2?3时，由?3E?A?x??，求得特征向量为?2???2,i,1?； 当?3??1时，由??1E?A?x??，求得特征向量为?3??0,?i,1?T。将特征向量单位化得
TTT???1i1???2i1?i1?1??3,3,3??，?2???6,6,6??，?3????0,?2,2?? 17
????令U??????13i313?26i6162?0???000?i??030?。 HUAU? x?Uy，则酉变换为，且???2????00?1??1?2??22所得标准形为：0y1?3y2?y3。
例2 试求酉变换 x?Uy，化Hermite二次型
f(x1,x2,x3)=x1x1?ix1x2?x1x3?ix1x2?x2x2?ix2x3?x1x3?ix2x3?x3x3
为标准型。
?1i?1??，则 ?i1i解答 二次型矩阵为A???????1?i1????1?E?A?i1?i1?i??2???3? ??1??1i
得A的特征值为?1??2?0,?3?3。
当?1??2?0时，由Ax??，求得特征向量为?1??1,0,1?，?2???i,1,0?； 当?3?3时，由?3E?A?x??，求得特征向量为?3???1,i,1?。
TTT?ii?利用施密特正交化方法将?1,?2正交化得?1??1,0,1?，?2???,1,?，
?22?TT则β1,β2，α3相互正交，再将其单位化得
??i2i?1??1i1??1,，?1??,0,?，?2??,??,,? 3???6662????2?333?TTT????令U??????12012?i626i6?1??3??000?i??000?。 HUAU? x?Uy，则酉变换为，且??3????003??1?3?? 18
所得标准形为：0y1?0y2?3y3。
定义4 设f(x)?xHAx 为Hermite二次型，对任意的x?Cn，且x??。 （1）如果xHAx?0，则称f(x)?xHAx 为正定的，也称相对应的H-阵A是正定的（记为A>0）；
（2）如果xHAx?0，则称f(x)?xHAx 为半正定的，也称相对应的H-阵A是半正定的（记为A30）；
（3）如果xHAx?0，则称f(x)?xHAx 为负定的，也称相对应的H-阵A是负定的（记为A<0）；
（4）如果xHAx?0，则称f(x)?xHAx 为半负定的，也称相对应的H-阵A是半负定的（记为A￡0）。
由定义4可以直接得到正定H-阵的部分性质 （1）单位矩阵E>0；
（2）若A>0，数k>0，则kA>0；
（3）若A>0，B>0，则A+B>0；（正定阵与正定阵的和为正定阵） （4）若A30，B30，则A+B?0；（半正定阵与半正定阵和为半正定阵） （5）若A>0，B30，则A+B>0。（正定阵与半正定阵的和为正定阵） 下面我们给出H-阵A正定（半正定）的条件。
定理5 n阶H-阵A正定（半正定）的充分必要条件是A的所有特征值都是正数（非负数）。
证明 必要性，设A>0(A?0)，?是A的任一特征值，?是其对应的单位特征向量（特征向量单位化后仍为同一特征向量），于是Aξ=?ξ，两端同左乘?H，有?=ξHAξ，由A为正定（半正定）可得
222?=ξHAξ>0(?0)
充分性，由A为H-阵，则存在酉矩阵V,使得
A=VHdiag[?1,?2,?,?n]V
若A的特征值?i（i=1,2,?,n）都为正数（非负数），则对任意n维非零向量x， 都有
xHAx=(Vx)Hdiag[?1,?2,?,?n](Vx)=yHdiag[?1,?2,?,?n]y>0(?0)
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式中y=Vx??，从而A>0(A?0)，即A正定（A半正定）。 定理6 设A是n阶H-阵，则下列命题等价。 （1）A是正定矩阵；
（2）对任意n阶可逆矩阵P，PHAP都是正定矩阵；
（3）存在n阶可逆矩阵P，使得PHAP=E（正定阵与单位阵合同）； （4）存在n阶可逆矩阵Q，使得A=QHQ。
证明 (1)T(2) 因为(PHAP)=PHAHP=PHAP，则PHAP为H-阵。已知A是正定矩阵，则有f(x)=xHAx>0(\x喂Cn,xH?)，所以对任意n阶可逆
矩阵P及任意y?Cn且y1q，令x=Py，则x?Cn且x1q，
yH(PHAP)y=xHAx>0
故PHAP是正定矩阵；
(2)T(3) 对H-阵A，存在酉矩阵U使得
UHAU=diag[?1,?2,?,?n]
（4-5）
其中?1,?2,?,?n为A的特征值，由（2）知diag[?1,?2,?,?n]是正定矩阵，则由定理5知?1,?2,?,?n均为正数；令
P1=diag[对（4-5）两端左乘P1H,右乘P1则
1?1,1?2,?,1?n]
HHHP1UAUP1=P1diag[?1,?2,?,?n]P1=E
令P=UP1，代入上式得PHAP=E，且P是可逆阵；
(3)T(4) 因为存在n阶可逆矩阵P使得PHAP=E，则令Q=P-1,有
QHPHAPQ=QHEQ,即A=QHQ；
(4)T(1) 因为A=QHQ，则AH=(QHQ)=QHQ=A，所以A为H-阵。
H又由
f(x)=xHAx=xHQHQx=(Qx)H(Qx)
由于Q可逆，故当x1q时，Qx1?，于是
f(x)=xHAx=(Qx)H(Qx)>0
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