则AH,E?A均为幂等矩阵；
（3）设?是A的特征值，由A2?A 知?2??， 即??0或1； （4）由于A2?A,则A?A?1A2?A?1A?E； （5）依题意有，
(AB)2?ABAB?AABB?A2B2?AB
(AHBH)2?[(BA)H]2?(BA)H(BA)H?(BABA)H?(B2A2)H?(BA)H?AHBH
?A1?定理2 设A=????A2???为分块对角矩阵，则A是幂等矩阵的充要条???Ar?件为Ai(i?1,2,?,r)均是幂等矩阵。
证明略。
例2 A为幂等矩阵的充分必要条件为2A?E为对合矩阵。 证明 必要性，由于A为幂等矩阵，所以A2?A，于是有
(2A?E)2?4A2?4A?E?E
所以2A?E为对合矩阵。
充分性显然。
例3 设A为幂等矩阵，试证明N(A)?R(E?A)。
证明 N(A)??x?CnAx???，R(E?A)?x?Cnx?(E?A)y,y?Cn 由A2?A 有A(E?A)?O，知E?A的n个列向量都是AX??的解，故有
R(E?A)?N(A)；又对???N(A),有 A???，所以??A??(E?A)? ?(E?A)?由此可见??R(E?A)，于是 N(A)?R(E?A)， 即
??N(A)?R(E?A)。
同样可以得到结论N(Ε?A)?R(A)。
例4 设A为幂等矩阵，a为实数(a?0,?1)，试证明A?aE是可逆矩阵。 证明 由A2?A有A2?A?O，A2?A?a(a?1)E??a(a?1)E，
(A?aE)[A?(a?1)E]??a(a?1)E，又由a?0,?1 有
(A?aE){
1[A?(a?1)E]}?E
?a(a?1)26
故A?aE可逆，且(A?aE)?1?4.3.2 幂等变换
1[A?(a?1)E]。
?a(a?1) 设L(V)为数域F上n维线性空间V的全部线性变换所组成的集合，对于线性变换的加法与数量乘法构成数域F上的一个线性空间，与数域F上n阶方阵构成的线性空间Fn?n同构。
特别地，与幂等矩阵对应的是幂等变换，因此为了讨论和探索幂等矩阵的性质时很有必要去探索幂等变换的相关概念和性质。
定义2 设T是n维线性空间V上的线性变换， （1）若T2?T，则称T是幂等变换；
（2）满足T2?Te，则称T是对合变换（Te为恒等变换）。
我们知道对于有限维线性空间，再给定一个基底后，线性变换在基下的矩阵与线性变换间存在一一对应的关系，因此前面所提到的幂等阵的性质和结论可以平移到幂等变换上来，以下给出幂等变换的常用性质。 定理3 （1）可逆的幂等变换是恒等变换；
（2）若T是幂等变换, Te是恒等变换，则Te?T也是幂等变换。 证明 因为恒等变换与单位矩阵相对应，由定理1知，结论成立。
定理4 T是幂等变换的充要条件是2T?Te为对合变换。 证明 由例2可知，结论成立。
例5 设T和U是n维线性空间V上的线性变换,且T2?T,U2?U，
(T?U)2?T?U,试证明TU?UT?O。 证明 由(T?U)2?T?U,可得
? TU?UT O （4-7）
对（4-7）式左乘T，得
T TU?TU? O （4-8）
对（4-7）式右乘T，得
?U?T TUT O （4-9）
比较（4-8）和（4-9）得 TU?UT 代入到（4-7）式得 2TU?O
27
于是就有 TU?UT? O
例6 设T,U是n维线性空间上的线性变换，且T2?T,U2?U，试证明
TV?UV?TU?U,UT?T。
证明 必要性，对???V,有U??UV?TV，故???V,使U??T?， 从而 TU??T2??T??U?，因此有TU?U，同理可证得UT?T。
充分性 ，据TU?U,UT?T可知，对?T??TV?V,有T??UT??
U(T?)?UV，故TV?UV，同样可证得UV?TV，于是TV?UV。
4.3.3 幂零矩阵
定义3 设A?Cn?n，若存在正整数k，使Ak?O，A称为幂零矩阵，满足
Ak?O的最小正整数称为A的幂零指数。
定理5 A为幂零矩阵的充分必要条件是A的特征值全为0。
证明 必要性，因为A为幂零矩阵，所以存在k?Z?，使得Ak?O ，令?0为A任意一个特征值，则?0k为Ak的特征值，由Ak?O从而有?0k=0，即有?0?0。由?0的任意性知A的特征值全为0。
充分性，因为A的特征值全为0， A的特征多项式为f(?)??E?A??n，特征方程为?n?0，所以f(A)?An?O，即A为幂零矩阵。
定理6 A为幂零矩阵的充分必要条件为?k?Z?，trAk?0。
证明 必要性，因为A为幂零矩阵，设?1,?2,?,?n为A的特征值，由定理5知，A的特征值全为0，即?1??2????n?0，从而Ak的特征值为
?1k??2k????nk?0，所以有trAk??1k??2k????nk?0。
充分性，设?1,?2,?,?n为A的特征值，则?1k,?2k,?,?nk为Ak的特征值，由已知，
?k?Z?trAk??1k??2k????nk?0 （4-10）
令?1,?2,??,?t为A的不为0的特征值且?i互不相同重数为ni由（4-10）知，得方程组
(i?1,2,??,t)
28
?n1?1?n2?2???nt?t?0?222n??n????n?22tt?0?11?333?n1?1?n2?2???nt?t?0?????n1?1t?n2?2t???nt?tt?0? （4-11）
于是，方程组（4-11）的系数行列式为
?1?2??t?12?22??t2????1??1?2??t1???1?1??2??t???1?2??t?(?i??j)
1?j?i?t?1t又?i?2t??tt?1t?1?2t?1??tt?1(i?1,2,?,t)互不相同且不为0，所以系数行列式不为零，从而知方程组
（4-11）只有零解，即ni?0(i?1,2,?,t)，A没有非零的特征值，所以A的特征值全为0，由定理5，A为幂零矩阵。
定理7 （1）若A为幂零矩阵，B为任意的n阶矩阵且有AB?BA，则AB也为幂零矩阵；
（2）A为幂零矩阵，则AH,?A,mA(m?Z?)均为幂零矩阵。
证明 （1）因为A为幂零矩阵，所以存在k?Z?，满足Ak?O，设B为任意的n阶矩阵且有AB?BA，于是，(AB)k?AkBk?OBk?O。所以，AB也为幂零矩阵；
（2）因为A为幂零矩阵，所以存在k?Z?，满足Ak?O，则
(AH)k?(Ak)H?OH?，O(?A)k?(?1)kAk?(?1)kO?O，所以AH,?A为幂零矩阵。又由于(mA)k?(m)kAk?(m)kO?O，mA(m?Z?)也为幂零矩阵。
例7 设A为幂零矩阵，试证明A不可逆，但有A?E?1,E?A?1。 证明 因为A为幂零矩阵，所以?k?Z?，使得Ak?O，所以Ak?A?0， 即A?0，所以，A不可逆。
又由于A为幂零矩阵，所以由定理5知A的特征值为?1??2????n?0，假设A?E,E?A的特征值分别为
?????n??0?1?1,???1????2????n????1?0 1 ?1???2k 29
则有A?E??1??2???n??1n?1，Ε?Α??1???2????n???1n?1，即A?E?1，
E?A?1。
例8 设A为幂零矩阵且Ak?O，试证明 （1）(E?A)?1?E?A?A2????Ak?1； （2）(mE?A)?1?1111E?2A?3A2????(?1)k?1kAk?1(m?0)。 mmmm证明 （1）因为Ak?O，所以
E?E?Ak?Ek?Ak?(E?A)(E?A?A2????Ak?1)
即(E?A)?1?E?A?A2????Ak?1；
（2）对于任意m?0，有
(mE?A)?1?1??A??E??????m??m???11??A??A??A? =?E??????????????m??m??m??m??k?1EAA2k?1A =?2?3?????1?mmmmk2k?1? ??? ?E111?2A?3A2????(?1)k?1kAk? 1 mmmm?46?15?例9 设A??13?5?，求A?1。
????12?4???46?15??36?15??100????12?5???010??B?E 13?5解答 A??????????12?4????12?5????001???3?36?15?其中B??12?5?，且有B2?BB???1?????1?12?5??6?15??36?15??12?5??O，所以，2?5?????2?5????12?5??100??36?15???2?615????12?5????1?15?。 A?1?(B?E)?1?E?B??010????????001????12?5?????1?26??
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