数重复度和几何重复度。
充分性，因为?mi?n , ai?mi，所以，A有n个线性无关的特征向量，由
i?1?本节定理3知，A可对角化。
必要性，设A与diag??1,?2?,?n?相似，则?1,?2,??n是A的特征值，设
A ?Pdiag??1,?,?1,?2,?,?2,?,??,?,???P?1
?i的代数重复度为mi(i?1,2,??)，所以A对应于?i至少有mi个线性无关的特征向量，即ai?mi，而由本节定理2知ai?mi，所以有ai?mi。 推论 设A?Cn?n， 若A有n个互异的特征值，则A为单纯阵。
例4 判断下列矩阵是否可对角化，如果可对角化，求出相似变换矩阵P。
i??1?i?i??102?? ?i1?ii（1）A??12?1?； （2）A???????01?2i???0??130????1解答 （1）由?E?A??1?1。 ?1??1,?2?1（二重根）
当?1??1时， m1?1,a1?1；
0?21?(??1)(??1)2得A的特征值为
??2?3??20?2??可知，rank(?E?A)?2，?1?11当?2?1时，m2?2，由(?2E?A)?? 2?????1?31??所以a2?3?2?1。
从而A的属于特征值?2?1的代数重复度和几何重复度不相等，即m2?a2，所以A不可对角化。
??1?i(2)由?E?A?i0i?i????1?2i????1?，故A的特征?i??1?2i2??1?i0值为?1?1?2i,?2?1；所以，m1?2,m2?1。
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?ii?i??x1???x???，求出特征子空间ii?i对应于?1?1?2i，解方程组????2???000????x3??V1?2i?L{?1,?1,0?,?1,0,1?T}，得到a1?2。
T?i??x1???ii??x???，求出特征子空间i?i?i对应于?2?1，解方程组????2???00?2i????x3??V1?L{?1,1,0?}，得到a2?1。
T?111?? ，则可得到?101所以A可对角化，令相似变换矩阵为P??????010??i?1?2P?1AP???0??001?2i00??0。 ??1??An?nm?mA?CB?C定理5 设，，且C???Om?n必要条件是A,B均为单纯矩阵。
On?m?,，则C为单纯矩阵充分B??n?nm?m证明 充分性，若A,B均为单纯矩阵，则存在P，使得 ?C,P?C1n2m??1????2?1??Λ P1AP1??1??????n??其中?1,?2,??n为矩阵A的特征值。
??1??????2?1??Λ P2BP2??2???????m???,??m?为矩阵B的特征值。 其中?1?,?2?P1令P???Om?n
On?m?,则 P2??7
?P1?1PCP???Om?n?1On?m??A??P2?1??Om?nOn?m??P1?OB???m?nOn?m??P1?1AP1??P2???Om?n??????Λ
?1????????m?On?m?? ?1P2AP2??Λ ??1?Om?n??1???On?m???n??Λ2???????(n?m)?(n?m)必要性，若C为单纯矩阵，则存在P?Cn，使得 ?mP?1CP?diag[?1,?2,?,?n,?n?1,??n?m]?Λ
???令P?[p1,p2,?pn,pn?1,?pn?m]，其中pi??i?,?i?Cn,?i?Cm
??i? (i?1,2,?n?m)。由CP?Pdiag[?1,?2,?,?n,?n?1,??n?m]得
??1????2? C[p1,p2,?pn,pn?1,?,pn?m]?[p1,p2,?pn,pn?1,?,pn?m]???????n?m?? ?[?1p1,?2p? m,?p,?]2npn,??n1?n?1?nmp?n比较上式的两端，则有Cpi??ipi(i?1,2,?,n?m)，即
?A?O?m?n比较上式的两端可以得到
On?m??αi??αi???i??(i?1,2,?,n?m) ???B??βi??βi?Aαi??iαi, Bβi??iβi(i?1,2,?,n?m)
由此说明?i, ?i分别是A,B的对应于特征值?i的特征向量。
下面证明在n?m个?i和?i中，分别有n个?i和m个?i线性无关。由于
??1?2??n??n?m?(n?m)?(n?m) ?CnP?[p1,p2,?pn,pn?1,?pn?m]???m???????2nn?m??1即rankP?n?m，则P的n?m个行向量线性无关，所以P的前n行
?1,?2,??n,?,?n?m也是线性无关的，即rank[?1,?2,??n,?,?n?m]?n，同理可得
所以，在n?m个?i和?i中，分别有n个?i和m个rank[?1,?2,??n,?,?n?m]?m。
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?i线性无关。
此定理可以推广到更多个可对角化矩阵的同时对角化。 矩阵A相似对角化的步骤如下：
步骤1，求出?E?A?0全部根，得到A的所有特征值；
步骤2，对每一个不同的特征值?i（重数为mi），求出??iE?A?x?θ的基础解系，即?i对应的个数最多的线性无关的特征向量；
步骤3，将所有不同的特征值对应的个数最多的线性无关的特征向量合在一起，一共有n个线性无关的特征向量?1,?2,?,?n，令P?[?1,?2,?,?n]，则有
??1????2?。 P?1AP????????n??4.1.3 正规矩阵及其对角化
定义4 设A?Cn′n，AH为A的共轭转置矩阵，若AAH=AHA，则称A为正规矩阵。
?1i?例5 证明A???为正规矩阵。 i1???20?证明 AHA?AAH??，所以A为正规矩阵。 ??02?注：不难看出正交矩阵、酉矩阵、对角矩阵、对称阵、埃尔米特矩阵都是正规矩阵。
定义5 设A,B?Cn′n，若存在酉矩阵U?Un?n，使得
UHAU?U?1AU?B
则称矩阵A与矩阵B酉相似。
同理，设A,B?Rn′n，若存在正交矩阵P，使得
PTAP?P?1AP?B
则称矩阵A与矩阵B正交相似。
引理1 (Schur引理)设?1,?2,?,?n 是n阶方阵A的特征值，则存在酉矩阵
U?Un?n，使得
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*???1???2H?1? UAU?UAU???????O??n???证明 （数学归纳法）当A的阶数为1时定理显然成立。 假设A的阶数为n?1时定理成立，考虑A阶数为n时的情况。 设x1是A的对应于特征值?1的特征向量，即Ax1??1x1，令u1?充为一组标准正交向量u1,u2,?,un，显然
x1并将其扩x1?0 i?j uiHuj??1 i?j?令U1?[u1,u2,?,un]，则U1为酉矩阵，有
AU1?[Au1,Au2,?,Aun]?[?1u1,Au2,?,Aun]
?a11?a21设A??????an1a12?a1n?na22?a2n??，则Au?bu(i?2,3,?,n)。因此 ?iijj????j?1?an2?ann???1b21b31?bn1??0?? AU1?[u1,u2,?,un]????A1??0??其中A1是n?1阶矩阵，根据归纳假设，存在n?1阶酉矩阵W满足WHAW?R11（R1为上三角矩阵，且对角线上的元素为矩阵A的特征值），令
?1?U2???Un?n，则有 ??W???1b21?0HHU2U1AU1U2??????0取U?U1U2，所以有
R1bn1??? ??? 10