习 题 四
1．设A?C3?3，E为三阶单位阵，且方阵E?2A，E?A，3E?A都不可逆，求A的谱。
2．设?1,?2,?,?s为A?Cn?n的全部互异的特征值，mi为?i的代数重复度
(i?1,2,?,s)，证明trA??mi?ik。
ki?1s?2a2??有特征值1，?1，试判断是否可对角化。 5b33．已知A??A?????11?1???001??可对角化，求a,b满足的条件。 a1b4. 已知A??????100??5．判断下列矩阵是否可对角化，若可以对角化，求出相似变换矩阵P，使P?1AP为对角矩阵：
??14?2??200??201?? （2）?111? （3）?313? ?340（1）????????????313???1?13???405????211??，求A100。 0206．已知A???????413??7．设A、B均是正规矩阵，试证：A与B酉相似的充要条件是A与B的特征值相同。
8．设A为n阶正规矩阵，?1,?2,?,?n为A的特征值，试证：AHA的特征值为
?1,?2,?,?n。
9．下列矩阵A是否为正规阵，如果是，求酉矩阵U，使得UHΑU为对角阵。
2?2??0i1??2? （2）A???i00? 25?4（1）A?????????100????2?45??22210．设A是Hermite矩阵，且A2?A，证明：存在酉矩阵U，使得
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H?EUAU??r?OO?。 ?O?11. 设A是Hermite矩阵，且A2?E ，则存在酉矩阵U，使得
H?EUAU??r?OO?。 ??En?r?12. 试证明任一个n′n阶矩阵都可表示为一个Hermite矩阵和一个反Hermite矩阵之和。
13. 设A为正定的Hermite矩阵，证明：存在正定的Hermite矩阵S，使得Sk?A,其中k为任意正整数。 14. 用酉变换将Hermite二次型
f(x1,x2,x3)?x1x1?ix1x2?x1x3?ix1x2?2ix2x3?x1x3?2ix2x3化为标准型。 15. 设A为Hermite矩阵，试证明：存在t >0，使得A+tE是正定Hermite矩阵，A-tE是负定Hermite矩阵。
16. 设A是正定的H-阵，且A又是酉矩阵，试证明A?E。
?51??182?17. 设A??，求A相对于B的广义特征值和广义特征向量。 ,B?????11??22?18．设A是幂等矩阵，求证：rankA?trA 。
19. 设A，B为n阶方阵，B为幂零矩阵且AB?BA，证明： A?B?A。
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