谐振腔的初始光子来自增益介质中满足频率条件的自发辐射，自发辐射的光子通过引起受激辐射和多次的反射传播使受激辐射形成链式增殖反应，实现光放大，产生的激光最后由半反射镜输出。考虑到谐振腔反射镜的反射损耗，增益介质的增益率必须高于谐振腔的损耗率，才能最终使谐振腔产生稳定的激光。设增益介质的增益系数为G，两反射镜的反射率分别为R1和R2，腔长为L，光的初始强度为I0，则光束在谐振腔内往返一次后的强度为I?I0R1R2e增益要求为I?I0R1R2e2GL2GL，谐振腔的
?I0 或 R1R2e2GL?1，由此获得产生激光的阈值或
谐振腔的最小增益条件为Gm?(12L)ln(1R1R2)。
受各种因素的影响，由谐振腔输出的激光并非绝对的单色光，其频谱仍具有一定宽度。导致激光频谱展宽的因素主要有：
①自然展宽 由于粒子处于激发态能级的寿命η决定其相应辐射过程的持续时间或相应辐射波列的长度，而有限的波列长度意味着该辐射波不再是绝对的单色波，而是具有一定的频谱宽度，由此产生的频谱展宽为自然展宽，根据海森堡能量-时间的不确定关系式 ?E??t?h2，辐射光子的不确定能量?ε?h?ω，时间的不确定量取?t?η，则辐射频谱自然展宽的量级约为2?ω?1η。 ②碰撞（或压力）展宽 若增益介质中粒子数量较多或间距较小，粒子间易发生相互碰撞，这种碰撞能促进粒子的跃迁，进而缩短其寿命，导致辐射谱线展宽。对于高压下的气体介质，碰撞展宽尤为显著。
③多普勒展宽 对于气体介质，粒子因热运动而产生多普勒频移，进而导致相应辐射谱线展宽。
§7-2材料光学性能的物理本质和影响因素 一、材料的光学性能及其相互关系
在上节中，我们从波动性和粒子性两方面介绍了光或者电磁波的传播和与物质相互作用的运动规律和性质。虽然涉及的内容比较庞杂，但在线性光学范围内，无论何种光学性质，如光的传播速度、吸收或衰减、波阻、折射率、反射和透射系数等，均可以采用相应介质的电磁性质，如介电系数、磁导率和电导率等，来加以描述，从而使不同介质或物质具有不同的光学性质。通常情况下，材料的这些电磁性质本身就是频率或波长的函数，因此，由它们表述的光学性质也应是频率或波长的函数。在某些场合和条件下，材料的光学性质还需采用复变量和张量的形式。除非特别声明，后续涉及的材料光学性质限定材料的状态是稳态、线性、非铁磁性、各向同性和均匀的，当然，这些性能也是非线性、铁磁性、各向异性和非均匀性材料光学性能的基础。
根据上述限定，固体材料的光学性质仍具有多种表述方法，较常用表述是复
??n(1?jK)或n??n?jnK，其中 折射率n%%)?Re(cv)?n?实部 Re(nμrεr2??1ζ???1????1? 7-2-1a
?2??εω???%)?nK?虚部 Im(nμrεr2?1?ζ???1????1? 7-2-1b
?2??εω???朗伯定律I?I0exp(??r)中的光吸收系数α?(4πλ0)nK，对于非铁磁性的无损耗介质，μr?1，ζ?0，n?cv?εr，α?nK?0。鉴于复折射率的实
部和虚部均可以用材料的电磁参量?(?)、?(?)和?(?)表征，使用复折射率相当于使用(εμ,ζμ)作为材料的光学性质，特别是对于非铁磁性材料，该组参量简
%，还可以分别选用 化为(ε,ζ)。除了复折射率n%?ε?j(ζω) 复介电常数 ε%?ζ?jω ε复电导率 ζ来作为材料的光学性质，并且视介质的磁特性决定是否将它们与其磁导率相组
%?cμε%合。根据麦克斯韦方程组有n，则它们与复折射率之间满足如下关系
n?nK?22222με?μrεr 7-2-2a μ0ε0μζμrζ? 2nK? 7-2-2b
ε0μ0ωε0ω2可见每种物质的光学性质通常需用两个独立的光学常数，或一个复数的光学常数来描述，其中的一个（或复数量的虚部）与能量的损耗有关，而另一个（或复数量的实部）则与能量损耗无关。考虑到同一物质的两个独立光学常数能够等效为一个复变量的实部和虚部，这两个光学常数之间并非完全没有关系。根据网络理
%(ω)?CR(ω)?jCI(ω)，若已知全频论，对一个线性无源系统，其响应函数C率范围的虚部函数CI(ω)或实部函数CR(ω)，则可以利用克拉默-克朗尼格（K-K）关系获得该复变函数的实部和虚部函数CR(ω)和CI(ω)，即
2?ωaCR(ω)CI(ωa)???dω 7-2-3a 20πω?ωa2?ωCI(ω)CR(ωa)?CR(?)??2dω 7-2-3b
0πω?ωa上述K-K关系给材料光学性能测试和实验数据处理带来方便，如光吸收系数的测试通常较折射率相对容易，可在足够宽的频率范围内测试材料的吸收系数，然后利用K-K关系积分获得折射率与频率或波长的关系（色散关系）。
材料的光学性质除了上述提及的物理量以外，还有其它一些间接的性能，如反射系数（或反射率）、透射系数（或透射率）等，它们通常由前述的光学性质的组合形式表述。通过这些间接地光学性质，再结合某些其它影响因素，可以衍生出更多通俗的光学性质，如透光（或透明）性与材料的吸收、透射和散射有关，光泽度则与材料表面的吸收、反射及粗糙度等有关。 二、材料光学性能的物理本质
如前所述，材料的光学性质是复函数（或分别取其实部和虚部）形式的光学常数及其随频率的变化规律（光谱）。材料光学性质的物理本质是光或电磁波与材料的相互作用机制，通过这些作用机制的研究及其相应模型的建立，使材料的光学性质及其频谱与材料的原子、电子结构，材料的相变过程，材料的连续性、完整性和材料的组织、凝聚乃至几何尺寸状态建立定量或定性的联系。实践中，一方面人们通过这些性质来评价光学材料的品质、指导材料改性和新材料的研发；另一方面，作为材料研究的手段和工具，人们又通过光学性能的测试来分析和研究材料，探究材料光学性能的影响因素和影响规律。
根据物理学的发展历程和人们对光学性质物理本质的认识深度，材料光学性质的色散理论分为经典模型和量子模型，由两种模型获得的光学性能表达式相似，但其中某些参量的物理意义不同；根据材料对电磁波的损耗程度，经典色散理论又分为劳伦兹（Lorentz）模型和特鲁德（Drude）模型，前者适于忽略传导电流的电介质，后者则适于金属材料。 1、经典色散理论---电介质的劳伦兹模型
劳伦兹模型认为，在电磁波高频电磁场作用下，介质分子（或原子）极化形成电偶极子并进行受迫振动，同时向外辐射电磁波，成为电磁辐射的次级波源。设感生偶极子相对于平衡位置的振荡位移为x（一维情形），偶极振子的固有频
&率为ω0，回复力 mω0x，阻尼力 mγx，入射电磁波的电场力eEx?eE0xe根据牛顿运动定律，有
22&&&&&&mx?mγx?mω0x?eEx 或 x?γx?ω0x?(em)E0xejωt 7-2-4
2jωt，
γ为阻尼系数，其中e和m分别为电子的荷电量和质量，忽略原子间的相互作用，
求解该方程，感生偶极子振荡位移x解的形式为x?x0exp(jωt)，其中x0为
22?(eEm)(ω?ω)?jγω?eE0xm0x0?? 7-2-5
x0?2?2ω0?ω2?jγω(ω0?ω2)2?γ2ω2
推广到三维空间，由感生偶极子振荡产生的极化强度为
vv2v?piNeE0mv P??Ner?2exp(jωt) 7-2-6 2?Vω0?ω?jγωv其中N为单位体积内感生偶极子的个数，r为电磁场作用下的振荡位移矢量。
vvvχE，则 极化强度P是复矢量函数，根据4-1-13式，P?ε0%v2PNe2(ω0?ω2)?jγω %χ?v??χ?(ω)?jχ??(ω) 7-2-7 22222ε0Eε0m??(ω0?ω)?γω??%?ε%(1?%χ)?1?(12)%χ， 有 由复折射率nr?1Ne2ω02?ω2% n?Re(n)?1?222ε0m(ω0?ω2)2?γω 2 7-2-8a
4π4π2πNe2γω%? α?nK?Imn()2222λ0λ0λ0εm(ω?ω)?γω002%%?εχ和7-2-2两式，有 另外，由nr?1?% 2 7-2-8b
2εNe2ω0?ω2222 ?εr?n?nK?1? 7-2-9a 22222ε0ε0m(ω0?ω)?γω
ζNe2γω2 7-2-9b ?2nK?22222ωε0ε0m(ω0?ω)?γω图7-2-1是根据上式绘制的εr(ω)和ζ(ω)曲线，而n(ω)和α(ω)曲线的形式也与此类似。该图按频率大致可以划分为四个区域，ω?0时，ζ?0，εr为静态相对介电常数；Ⅰ区为透明区，ζ?0，吸收可以忽略，εr随频率单调增加，整个ab段曲线为正常色散区；Ⅱ区为吸收区，ζ?0，并且有ζ(ω0)?ζmax。该区中εr(ω)曲线的bc段为反常色散区，在ω?ω0处，εr降为1，然后继续下降，越过0值后进入负值区，即εr?0；Ⅲ区为类金属反射区，由于ζ?0，εr?0，有n??εr，电介质对入射电磁波呈现出于金属类似的反射行为；Ⅳ区又表现为透
对于固体和液体介质，原子之间和感生偶极子之间的相互作用不容忽略，并考虑因介质极化产生的附加极化场的作用，根据4-1-21式，使用劳伦兹有效场
明区，不同于Ⅰ区的是因εr?1，导致n?1。 图7-2-1
??vvEeff??(?r?2)3?E的幅值E0eff替换7-2-6式中的E0，即可得到适于固体和液
体的相应关系式
Ne21% ε 7-2-10 ?1?r22??ω?jγω)ε0m(ω0??ω0?Ne(3ε0m)。 其中ω0当介质中具有不止一个固有频率时，根据各固有频率ω0i在振幅中的权重分数fi ，有
222Ne2fi% 7-2-11 ε?1??r22??ω?jγωε0miω02、经典色散理论---金属的特鲁德模型
在特鲁德模型中，金属或导体中的电子近似为自由电子，但仍受到正比于其速度的阻尼力的作用，因此忽略劳伦兹模型中的回复力项，即可得到金属或导体受到电磁波作用时其中自由电子的运动方程
&&&x?γx?(em)E0xejωt 7-2-12
解该方程，获得金属或导体相应光学常数的频谱
εNe21 7-2-13a ?εr?1?22ε0ε0mω?γNe2γ ζ?mω2?γ2 7-2-13b
图7-2-2是根据7-2-13式绘制的金属的εr(ω)和ζ(ω)曲线，当ω?0时，
ζ?ζ0?Ne2mγ，即等于直流电导率。
根据第一章中1-2-5式，直流电导率
ζ0?Ne2ηm，二者比较有γ?1η，可
见阻尼系数正比于自由电子的散射或碰
撞几率。金属频谱曲线的其余部分可按频 图7-2-2
率划分为三个区域，吸收区ζ?0，εr?0；金属反射区ζ?0，εr?0；而透明区ζ?0，εr?0，此情形下金属呈现出与电介质类似的性质。图中εr?0所对应频率被定义为等离子体频率ωp，若忽略阻尼作用（γ?0），由7-2-13a式， ωp?Ne2mε0 7-2-14
当入射电磁波的频率等于金属的等离子体频率时，其中的电子以等离子体的形式集体相对于正离子背景而运动，是等离子体电磁性质的特征频率。
比较电介质和金属的光谱特性可以发现，电介质可以呈现类金属的反射特