(24)∫cos2xdx; cosx sinx
cos2xcos2x sin2x 解 ∫=∫(cosx+sinx)dx=sinx cosx+C. dx=∫cosx sinxcosx sinx
cos2xdx; (25)∫22cosxsinx
cos2xcos2x sin2x11 解 ∫dx=dx=( )dx= cotx tanx+C. ∫∫222222cosxsinxcosxsinxsinxcosx
1 (26)∫(1 2)xxdx; x
1 44 44 解 ∫ 1 2 xxdx=∫(x x)dx=x+4x4+C. 7 x 3571
2. 一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程.
解 设该曲线的方程为y=f(x), 则由题意得
1 y′=f′(x)=, x
1所以 y=∫dx=ln|x|+C. x
又因为曲线通过点(e2, 3), 所以有=3 2=1
3=f(e 2)=ln|e 2|+C=2+C,
C=3 2=1.
于是所求曲线的方程为
y=ln|x|+1.
3. 一物体由静止开始运动, 经t秒后的速度是3t2(m/s), 问
(1)在3秒后物体离开出发点的距离是多少？
(2)物体走完360m需要多少时间？
解 设位移函数为s=s(t), 则s′=v=3 t2, s=∫3t2dt=t3+C.
因为当t=0时, s=0, 所以C=0. 因此位移函数为s=t 3.
(1)在3秒后物体离开出发点的距离是s=s(3)=33=27.
(2)由t 3=360, 得物体走完360m所需的时间t=≈7.11s.
ex12xxx的原函数. 4. 证明函数e, eshx和echx都是chx shx2